¿Prueba de convergencia?

Question

Considere la suma, donde $\epsilon > 0$

$$S_N(\epsilon) = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^N - (k-1)^N}{k^{N+\epsilon}}$$

1. En $S_N(\epsilon)$ convergen para todos $\epsilon > 0$ para un N fijo?
2. En $S_N(\epsilon)$ cubrirse o divergir para un $\epsilon$ como $N \to \infty$ ?

He intentado sin éxito aplicar pruebas de convergencia para solucionarlo.

EDIT: Un poco demasiado tarde para mí para editar. Como ya he encontrado dos buenas respuestas sólo para la pregunta 1 de DonAntonio y Jim. Esto es lo que se me ocurrió para la pregunta 1.

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{k^N - (k-1)^N}{k^{N+\epsilon}} = (\epsilon+N)\int_1^\infty \frac{\lfloor x \rfloor^N}{x^{\epsilon + N + 1}} dx$$ Y desde entonces, $$(\epsilon+N)\int_1^\infty \frac{\lfloor x \rfloor^N}{x^{\epsilon + N + 1}} dx < (\epsilon+N)\int_1^\infty \frac{1}{x^{\epsilon + 1}} dx = \frac{\epsilon + N}{\epsilon}$$ y como la suma es creciente para N fijo por lo tanto, converge para N fijo.

Segunda pregunta. Sigo sin poder resolverla. Edición 2: Gracias Jim. :) Ahora resuelto.

Answer 1

Desde $\,a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})\,$ , obtenemos:

$$k^N-(k-1)^N=k^{N-1}+k^{N-2}(k-1)+\ldots +k(k-1)^{N-2}+(k-1)^{N-1}\leq N\,k^{N-1}$$ así que

$$\frac{k^N-(k-1)^N}{k^{N+\epsilon}}\leq N\frac{1}{k^{1+\epsilon}}$$ y nuestra serie converge por la prueba de comparación (para $\,N\,$ fijo, cualquier $\,\epsilon > 0\,$ ).

Answer 2

Para fijos $N$ podemos utilizar la prueba de comparación de límites: $$ \lim_{k\to\infty} \frac{(k^N-(k-1)^N)/k^{N+\epsilon}}{1/k^{1+\epsilon}} \;=\; \lim_{k\to\infty} \frac{k^N-(k-1)^N}{k^{N-1}} \;=\; N. $$ Desde $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{1+\epsilon}}$ converge, la serie dada converge también.

Ahora, consideremos lo que ocurre si fijamos $k$ y $\epsilon$ y varían $N$ . Tenemos $$ \frac{k^N-(k-1)^N}{k^{N+\epsilon}} \;=\; \frac{1}{k^\epsilon}\left(1-\left(1-\frac{1}{k}\right)^N\right) $$ A medida que aumentamos $N$ la cantidad de la derecha aumenta, acercándose a $\dfrac{1}{k^\epsilon}$ como $N\to\infty$ . Por lo tanto, por la Teorema de convergencia monótona , $$ \lim_{N\to\infty} \sum_{k=1}^\infty \frac{k^N-(k-1)^N}{k^{N+\epsilon}} \;=\; \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\epsilon} $$ Así $S_N(\epsilon)$ diverge como $N\to\infty$ para $\epsilon\leq 1$ y converge para $\epsilon>1$ .