¿Qué significa esta ecuación que relaciona el campo eléctrico y la energía potencial?

Question

Mi profesor de electrodinámica estaba explicando que es necesario aplicar algo de energía (o realizar algún trabajo) sobre las cargas para disponerlas en el espacio. Cuando puso un ejemplo sobre la energía en un condensador el resultado fue

$$U = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{\epsilon_0 A / d}$$

Dónde

• $Q$ es la carga del condensador

• $A$ es el área del condensador

• $d$ es la distancia entre placas

• $\epsilon_0$ es la permitividad del espacio

Más tarde declaró que era equivalente escribirlo así:

$$U = \frac{\epsilon_{0}}{2}E^2(Ad)$$

Dónde $E$ es el campo eléctrico dentro del condensador.

Luego, como analogía, nos dijo que para cualquier otro conjunto de cargas, podríamos encontrar algo similar, y nos dijo que se podía calcular como

$$U = \frac{\epsilon_{0}}{2} \int_v E^2 \, dV$$

• ¿Cómo llego a la segunda ecuación?

• ¿Qué significa la integral de la tercera ecuación? ¿Cómo interpretarla físicamente?

Answer 1

Usted tiene

$${U = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{\frac{\epsilon_{0}A}{d}}}$$

$${\frac{\epsilon_{0}A}{d}}=C\equiv\textrm{ the capacitance of the capacitor.}$$

Por lo tanto

$${U=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}}$$

Ahora $\displaystyle{Q=CV}$ donde V es el p.d. entre las placas del condensador.

Así que.., $${U=\frac{1}{2}CV^2}$$

o $${U=\frac{1}{2}\frac{\epsilon_{0}A}{d}V^2}$$

Ahora el V (potencial escalar) y el campo eléctrico se relacionan como:

$\mathbf E= -\mathbf\nabla V$ que es válido para campos eléctricos estáticos como en el caso del campo eléctrico entre las placas del condensador

donde $\displaystyle{\mathbf \nabla V=\frac{\partial V}{\partial x}\hat{\textbf{x}}+\frac{\partial V}{\partial y}\hat{\textbf{y}}+\frac{\partial V}{∂z}\hat{\textbf{z}}}$

llamado gradiente de $V$ que te da la tasa máxima de cambio de V en las tres dimensiones.

$\therefore$ $\displaystyle{V=-\int {\textbf{E}}.d{\textbf{r}}}$

Sustituyendo este valor de V en la ecuación de $U$ obtenemos

$$\displaystyle{U=\frac{1}{2}\frac{\epsilon_0A}{d}\int (\textbf{E}.d{\textbf{r}})^2}$$

o

$$\color{red}{\displaystyle{ U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_\textrm{all space} E^2d\tau}}$$

donde $d\tau$ es el volumen elemental

Es la energía eléctrica almacenada en el campo eléctrico de una configuración de carga. Esta ecuación es válida para cualquier configuración de carga. Esta ecuación nos dice que la energía eléctrica se almacena en el campo eléctrico cuando se integra sobre todo el espacio. El todo el espacio tiene cierta importancia porque el campo eléctrico cae de como cuadrado de la distancia y por lo tanto será cero sólo si la distancia de la carga es infinito. Por lo tanto, para obtener toda la energía de una configuración de carga, es necesario integrar el cuadrado del campo eléctrico tomado sobre un pequeño volumen sobre todo el espacio. Esto significa que el propio campo eléctrico existe como una manifestación del campo eléctrico que es la propiedad de una carga eléctrica. Cuanto mayor sea la magnitud de la carga, mayor será el campo eléctrico y la energía almacenada en el campo. La energía almacenada en el campo disminuye a medida que nos alejamos de la carga. Como el campo eléctrico disminuye al cuadrado de la distancia a la carga, la energía disminuye a la cuarta potencia de la distancia a la carga. Esto significa que la energía eléctrica está bien confinada cerca de la carga, mientras que el campo eléctrico puede extenderse a cierta distancia. Esa región del espacio se denomina esfera de influencia de la carga.

Ahora bien, en el caso del condensador de placas paralelas, el campo eléctrico sólo existe entre las placas, por lo que la energía almacenada por un condensador aparece entre las placas. Pero si tratamos las placas individualmente, la energía eléctrica está presente alrededor de la placa, pero cuando la reconfiguramos colocando otra placa a cierta distancia finita de ella en una disposición de condensador de placas paralelas, el campo eléctrico se modifica y no existe un campo único de las placas, sino sólo la superposición de campo debida a la combinación de las placas. En tal configuración, no existe ningún campo fuera de las placas. Por lo tanto, toda la energía del campo modificado aparece entre las placas. Sin embargo, no hay que confundir esta energía con la diferencia de potencial entre las placas, como se puede comprobar fácilmente a partir de la ecuación. La energía entre las placas es el trabajo realizado para ensamblar la configuración de las placas cargadas. Pero la diferencia de potencial es el trabajo realizado para mover una unidad de carga positiva de una placa a la otra. La energía necesaria para ello también proviene de la energía almacenada en el campo entre las placas. Recordemos que la energía almacenada en el campo contiene una $E^2$ mientras que la diferencia de potencial sólo contiene $E$ plazo.

Answer 2

Para un sistema discreto de $N$ cargas, la energía potencial asociada a su configuración viene dada por

\begin{align}U&= \frac12\,\sum_{j=1}^N \, q_j\sum_{k\ne j}\,\frac1{4\pi\epsilon_0}\,\cdot \frac{q_k}{r_{jk}}\\ &= \frac12\,\sum_{j=1}^N \, q_j\,\varphi(\mathbf r_j)\tag 1 \end{align}

donde $\varphi$ es el potencial escalar debido a todas las cargas distintas de $q_j\,.$

La energía potencial almacenada en el sistema de carga continua puede deducirse de $(1)$ a saber

$$U= \frac12\int \rho(\mathbf r)\,\varphi(\mathbf r)\,\mathrm d^3\mathbf r \tag 2$$

Ahora, utilizando $\mathbf\nabla\cdot \mathbf E= \dfrac \rho{\epsilon_0}$ en $(2)$ obtenemos,

$$U= \frac{\epsilon_0}2\int \mathbf \nabla\cdot \mathbf E(\mathbf r)\,\varphi(\mathbf r)\,\mathrm d^3\mathbf r\tag 3$$

Utilizando ahora la identidad $ \mathbf \nabla \cdot \left( \varphi\,\mathbf A \right) = \varphi \left( \mathbf {\nabla }\cdot \mathbf A\right) +\mathbf A \cdot \mathbf {\nabla }\varphi\,^{\dagger}$ en $(3)\,,$ obtenemos

$$U= \frac{\epsilon_0}2\left[\int\, \mathbf \nabla \cdot \left( \varphi\,\mathbf E \right)\,\mathrm d^3\mathbf r- \int\, \mathbf E \cdot \mathbf {\nabla }\varphi\,\mathrm d^3\mathbf r\right]\tag 4$$

Utilizando el teorema de la divergencia, podemos reescribir $(4)$ como:

$$U= \frac{\epsilon_0}2\left[\int \varphi\,\mathbf E \,\mathrm d^2\mathbf r- \int\,\mathbf E \cdot \mathbf {\nabla }\varphi \,\mathrm d^3\mathbf r\right]\tag5$$

Ahora, utilizando $\varphi(\mathbf r\to \infty)= 0\,$ y $\mathbf E= -\mathbf \nabla \varphi$ en $(5)\,,$ obtenemos:

$$U= -\frac{\epsilon_0}2 \int\,\mathbf E\cdot (-\mathbf E)\,\mathrm d^3\mathbf r\tag 6$$

Y, de $(6)\,$ se concluye que

$$U= \frac{\epsilon_0}2 \int\,\mathbf E\cdot \mathbf E\,\mathrm d^3\mathbf r\;.$$

¿Cómo lo interpreto físicamente?

Es la energía necesaria para ensamblar el sistema de cargas en esa configuración específica .

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$^\dagger$ Comprueba esto Correo electrónico: para su derivación.