Hay que utilizar el teorema espectral para definir correctamente dicha exponencial. Sea $\Omega$ sea un operador autoadjunto (posiblemente ilimitado), con dominio $D(\Omega)$ . Entonces por el teorema espectral existe una medida valorada por proyección $\mathrm{d}P_{\lambda}$ tal que $$\Omega = \int_{\mathbb{R}}\lambda \mathrm{d}P_{\lambda}\; .$$ Más concretamente, la acción de $\Omega$ en cualquier $\phi,\psi\in D(\Omega)$ puede escribirse como $$\langle\phi, \Omega\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}} \lambda \mathrm{d}(\langle\phi,P_\lambda \psi\rangle)<\infty\; ,$$ donde $\mathrm{d}(\langle\phi,P_\lambda \psi\rangle)$ es la medida espectral evaluada en $\phi,\psi$ (y es una medida compleja sobre los reales).
El operador $e^{\Omega}$ es un operador densamente definido que actúa de la siguiente manera: $$e^{\Omega}=\int_{\mathbb{R}}e^{\lambda} \mathrm{d}P_{\lambda}\; .$$ Se puede demostrar que, efectivamente, está densamente definida (no es más que otra forma del teorema espectral), y el dominio de definición consiste en tales vectores $\psi$ para lo cual $$\lVert e^\Omega\psi\rVert^2=\int_{\mathbb{R}} e^{2\lambda} \mathrm{d}(\langle\psi,P_\lambda \psi\rangle)<\infty\; .$$
Como es fácil ver, tal definición funciona bien en cualquier base, y si el operador tiene espectro continuo. Si $\Omega$ tiene resolvente compacto, entonces existe una base ortonormal de vectores propios $\{\psi_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ . En ese caso, la representación espectral es mucho más sencilla, y viene dada por $$\Omega= \sum_{n\in \mathbb{N}}\lambda_n \lvert\psi_n\rangle\langle\psi_n\rvert\; .$$ Se deduce entonces que la exponencial está definida por $$e^{\Omega}=\sum_{n\in \mathbb{N}}e^{\lambda_n} \lvert\psi_n\rangle\langle\psi_n\rvert\; ,$$ y el dominio de definición (los vectores en los que converge la "serie") son los vectores $\psi$ tal que $$\sum_{n\in \mathbb{N}}e^{2\lambda_n}\lvert\langle\psi_n,\psi\rangle\rvert^2<\infty\; .$$
