¿Qué grupos y anillos "parece"?

Question

De licenciatura cursos de física, he tenido que lidiar con Euclidiana vectores a menudo. En las clases como Calc III, el concepto también estaba allí.

No estoy seguro de si este es el por qué, pero siempre he tenido una más intuitiva "imagen" de lo que es un espacio vectorial se que otras estructuras algebraicas. Aunque en un curso de álgebra lineal, espacios vectoriales son arbitrarias de una estructura como cualquier otro, esta asociación con un "espacio de escalable líneas dirigidas" atascado. Esto hace que el concepto de "dimensión" de un espacio vectorial muy intuitiva, junto con muchas otras cosas.

Para los anillos y los grupos, y otras estructuras, no tengo dicha intuición. He escuchado a los grupos con respecto a todo tipo de cosas, la participación de las simetrías, y adornos del árbol de Navidad. No puedo ver estas cosas. He realizado cursos de posgrado en teoría de grupos y actualmente estoy auto-estudio de los anillos, pero tiene poco de intuición en estas cosas.

En otras palabras, si yo tuviera que explicar a un espacio vectorial a alguien que no tiene conocimientos en matemáticas, probablemente voy a ir a la ruta de explicar el espacio tridimensional con escalable dirigida líneas, un ejemplo concreto, y podría hacerlo en un lenguaje sencillo y de forma cómoda e intuitiva. Si tuviera que explicar a un grupo, yo realmente no tienen más remedio que decir "un grupo es un conjunto de objetos dotados de una operación binaria tal que..."

¿Cuál es tu idea intuitiva de estas otras estructuras algebraicas? ¿Cómo se puede "visualizar" un grupo?

Answer 1

No hay que pensar en un grupo como un cosa del mismo modo que un espacio vectorial es una cosa.

Los grupos no son cosas, los grupos actuar en las cosas.

Si $V$ es un espacio vectorial, entonces la colección de transformaciones lineales invertibles $V\to V$ es un grupo. Si $X$ es un conjunto, entonces la colección de todas las permutaciones de $X$ es un grupo. Si $A$ es cualquier objeto, en cualquier categoría, entonces los automorfismos de $A$ ? Son un grupo.

Ahora resulta que muchos grupos pueden visualizarse geométricamente. Por ejemplo, el conjunto de rotaciones en $\mathbb{R}^2$ puede identificarse con el círculo. Así que de vez en cuando podrás aplicar tus conocimientos e intuiciones de geometría, espacios vectoriales, etc., a la teoría de grupos, pero a veces te llevarás grandes sorpresas.

Obsérvese que cada grupo es el grupo de simetría de algo . Por ejemplo, cualquier grupo finito $G$ es un grupo de permutaciones de algún conjunto finito, así como un grupo de matrices de algún espacio vectorial de dimensión finita. Así que es razonable pensar en cualquier grupo finito como una colección de simetrías que pueden interpretarse geométricamente.

Answer 2

Para Grupo Teoría de grupos visuales", de Nathan Carter. Hace un gran trabajo ofreciendo una buena intuición no sólo del concepto de grupo, sino también de diferentes definiciones relacionadas con grupos, diferentes grupos... (Como sugiere el título; de forma visual)

http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/gallery.html

Para Anillo teoría, lo que me ha funcionado de maravilla es este hilo:

https://mathoverflow.net/questions/2748/what-is-the-right-definition-of-a-ring

Answer 3

Una imagen muy básica de una estructura algebraica es la de un simple conjunto con "interconexiones" entre los elementos. Imaginemos un conjunto simple, un alfabeto, digamos, de dos letras, "A" y "B". Supongamos ahora que podemos combinar las letras para obtener un conjunto mayor juntando las letras en cualquier combinación (hablaré de un monoide para simplificar). Entonces, algo como AAABBBAAB está en este conjunto (el orden cuenta). Se trata de un monoide libre (también existe la llamada identidad, que equivale a una combinación vacía en nuestro caso). Las "rutas" entre las palabras se rigen por las reglas de nuestra estructura algebraica. Por ejemplo, empezar por A, "ir" a A para obtener AA o "ir" a B para obtener B y así sucesivamente. En un grupo, también tenemos cosas como $\text{A}^{-1}$ y $\text{B}^{-1}$ con las normas $\text{A}\text{A}^{-1}=$ "palabra vacía" (lo mismo para B). Así que, en cierto modo, puedes "caminar hacia atrás".

En un anillo, tiene "rutas" adicionales permitidas por la segunda operación.

Pero personalmente prefiero pensar que las estructuras algebraicas son como algoritmos o programas informáticos con datos y métodos. Por ejemplo, nuestro monoide anterior es un programa con datos consistentes en dos valores A y B junto con una identidad, digamos, E, y un método $\text{mult}$ que toma dos palabras y simplemente las concatena. Esta imagen no depende tanto de los conjuntos, pero, por supuesto, no sirve para todas las estructuras.

Además, mi recomendación personal es intentar pensar en categorías. Da una comprensión mucho mejor que la basada en la teoría de conjuntos.