¿El determinante de un operador lineal complejo considerado como un operador lineal real?

Question

Intentaba resolver la siguiente pregunta

Sea $T: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}^{2}$ un operador lineal con determinante a+bi. Si consideramos $\mathbb{C}^{2}$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}^{4}$ y $T$ como un operador lineal real, entonces tenemos que $det(T)=a^{2}+b^{2}$ como operador lineal real.

Aquí están mis pensamientos:

Estaba viendo $\mathbb{C}^{2}$ como un espacio vectorial real con base $(1,0), (i,0), (0,1), (0,i)$ . Esto da el isomorfismo lineal $\mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{C}^{2}$ .

Configuración $z_{k}=a_{l} + b_{k}i$ tenemos lo siguiente $2$ por $2$ matriz para $T$ , $\begin{bmatrix} z_{1} &z_{2} \\ z_{3} &z_{4} \end{bmatrix}$ .

Como operador real encontré al operador $T$ para tener la matriz

$\begin{bmatrix} a_{1} &-b_{1} &a_{2} &-b_{2}\\ b_{1} &a_{1} &b_{2} &a_{2} \\ a_{3} &-b_{3} &a_{4} &-b_{4}\\ b_{3} &a_{3} &b_{4} &a_{4}\\ \end{bmatrix} $

Hallar el determinante de la matriz anterior me parece muy lioso, estaba considerando hallar el determinante de la matriz anterior y juntar términos para probar el punto pero tal vez me esté esforzando demasiado.

¿Hay otra forma de hacerlo?

Answer 1

He aquí otro enfoque. Elige una base ordenada $\mathcal B_2=\{u,v\}$ del espacio lineal complejo $\mathbb C^2$ bajo la cual la matriz de $T$ está en forma de Jordania. Entonces $\mathcal B_4=\{u,iu,v,iv\}$ es una base ordenada del espacio lineal real $\mathbb C^2$ . Por lo tanto, si la matriz de $T$ en $\mathcal B_2$ es $\pmatrix{z_1&\ast\\ 0&z_2}$ con $z_j=a_j+ib_j\ (a_j,b_j\in\mathbb R)$ la matriz de $T$ en $B_4$ sería $\pmatrix{a_1&-b_1&\ast&\ast\\ b_1&a_1&\ast&\ast\\ 0&0&a_2&-b_2\\ 0&0&b_2&a_2}$ . Por lo tanto, si el determinante de $T$ en $\mathcal B_2$ es $z_1z_2=a+bi$ el determinante de $T$ en $\mathcal B_4$ es $(a_1^2+b_1)^2(a_2^2+b_2)^2=|z_1z_2|^2=a^2+b^2$ .

Answer 2

Podemos escribir $T$ como una matriz de bloques $$ \begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \pmatrix{ a_{1} &-b_{1}\\ b_{1} &a_{1}}& \pmatrix{ a_{2} &-b_{2}\\ b_{2} &a_{2}}\\ \pmatrix{ a_{3} &-b_{3} \\ b_{3} &a_{3} }& \pmatrix{ a_{4} &-b_{4}\\ b_{4} &a_{4}}\\ \end{bmatrix} $$ Porque $C$ y $D$ conmutar, podemos aplicar la fórmula aquí encontrar $$ \det\begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix} = \det[AD - BC] $$ este es un $2 \times 2$ determinante que no te costará calcular.

Además, tenga en cuenta que $$ \pmatrix{a&-b\\b&a} \pmatrix{c&-d\\d&c} = \pmatrix{ac - bd & -(ad + bc)\\ad + bc & ac - bd} $$ por analogía con la multiplicación de los números complejos.