$SL_2(\mathbb Z_3)/Z(SL_2(\mathbb Z_3)) \cong A_4$

Question

Intento demostrar que el grupo cociente $SL_2(\mathbb Z_3)/Z(SL_2(\mathbb Z_3))$ es isomorfo a $A_4$ .

Podría demostrar que $SL_2(\mathbb Z_3)$ tiene $24$ (se puede comprobar calculando todos los elementos a mano o simplemente observando que $GL_2(\mathbb Z_3)$ tiene $48$ y que $SL_2(\mathbb Z_3)$ es el núcleo del morfismo $\det:GL_2(\mathbb Z_3) \to G_2$ ). El centro de $SL_2(\mathbb Z_3)$ es $\left\{\begin{pmatrix}1& 0\\0& 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1& 0\\0& -1\end{pmatrix}\right\}$ .

Me he atascado intentando demostrar que estos dos grupos son isomorfos. Por la teoría de Sylow puedo decir que $n_3=4$ donde $n_p=$ número de $p$ -Subgrupos Sylow. Entonces puedo definir la acción por conjugación sobre $X$ el conjunto de todos los $3$ -Subgrupos Sylow.

Así que tengo un morfismo $\phi:SL_2(\mathbb Z_3) \to S(X)$ . Es evidente que $Z(SL_2(\mathbb Z_3)) \subset \ker \phi$ . No sé qué hacer a partir de ahora.

Agradecería sugerencias o una solución alternativa a este problema. Gracias de antemano.

Answer 1

En lugar de la acción sobre el $3$ -Sylow, creo que hay un conjunto más natural en el que $SL_2(\mathbb{Z}_3)/Z(SL_2(\mathbb{Z}_3))$ actúa fielmente. Set $X:=\{\text{ vectorial lines in } \mathbb{F}_3\times \mathbb{F}_3\}$ .

El cardenal de $X$ es fácil de encontrar, en efecto, cualquier recta vectorial viene dada por un vector no nulo y además dos vectores colineales dan la misma recta por lo tanto :

$$X=\frac{\mathbb{F}_3\times \mathbb{F}_3\setminus \{0\}}{\mathbb{F}_3^*} $$

Por lo tanto $|X|=\frac{9-1}{2}=4$ . Es evidente que $SL_2(\mathbb{Z}_3)$ actúa sobre $X$ además una matriz $A$ dejará fija cualquier línea si y sólo si está en el centro. Esto es fácil de demostrar (digamos $(e_1,e_2)$ es la base canónica de $\mathbb{F}_3\times \mathbb{F}_3$ ), toma $A$ tal matriz entonces deja $\mathbb{F}_3e_1$ , $\mathbb{F}_3e_2$ y $\mathbb{F}_3(e_1+e_2)$ invariante que es : $Ae_1=\lambda e_1$ , $Ae_2=\mu e_2$ y $A(e_1+e_2)=\gamma (e_1+e_2)$ por lo que tenemos :

$$\gamma e_1+\gamma e_2=A(e_1+e_2)=Ae_1+Ae_2=\lambda e_1+\mu e_2 $$

Por lo tanto, tenemos $\lambda=\gamma=\mu$ para que en la base $(e_1,e_2)$ la matriz de $A$ es :

$$\begin{pmatrix}\gamma& 0\\ 0& \gamma\end{pmatrix} $$

Es fácil demostrar que esta en el centro de $SL_2(\mathbb{Z}_3)$ . A la inversa, cualquier matriz en el centro de $SL_2(\mathbb{Z}_3)$ es de esta forma y fijará cualquier línea. Por lo tanto, hemos demostrado que la acción de $SL_2(\mathbb{Z}_3)$ en $X$ cociente a través de su centro para dar una acción fiel en $X$ . En otras palabras, hemos construido un morfismo inyectivo :

$$\rho: SL_2(\mathbb{Z}_3)/Z(SL_2(\mathbb{Z}_3))\rightarrow \mathfrak{S}_X=\mathfrak{S}_4 $$

Ahora por cálculo de cardinalidad ya has hecho $SL_2(\mathbb{Z}_3)/Z(SL_2(\mathbb{Z}_3))=12$ y $\mathfrak{S}_4$ es de cardinal $24$ . Por lo tanto, la imagen de $\rho$ es un subgrupo de índice $2$ en $\mathfrak{S}_4$ no puede ser sino el grupo antisimétrico $\mathfrak{A}_4$ .