Definición: Sea $M\subseteq \mathbb{R}^n$ sea una k-manifold lisa y fije un punto $p\in M$ . Sea $C_p$ denotan la colección de $C^1$ mapas de la forma $\gamma:(-1,1)\to M$ tal que $\gamma(0)=p$ . Fijar una incrustación regular $\phi :U\to v$ tal que $p\in V$ y que $\phi^{-1}:V\to U$ denota su inversa. Dotar $C_p$ con una relación de equivalencia tal que $\gamma_1 \sim \gamma_2$ si $(\phi^{-1}\circ \gamma_1)^\prime(0)=(\phi^{-1}\circ \gamma_2)^\prime(0)$ .
Demuestre que esta definición no depende de la elección de la incrustación regular.
Así que antes de esto tuve que demostrar que para 2 incrustaciones regulares $\phi_1,\phi_2$ que $\phi_2^{-1}\circ\phi_1$ es un difeomorfismo.
Así que $\phi_1,\phi_2$ sean 2 incrustaciones regulares para $M$ . Supongamos que $\gamma_1\sim\gamma_2$ .
entonces $(\phi^{-1}\circ \gamma_1)^\prime(0)=(\phi^{-1}\circ \gamma_2)^\prime(0)$
entonces $$(\phi_2^{-1}\circ\gamma_1)^\prime(0)=(\phi_2^{-1}\circ\phi_1\circ\phi_1^{-1}\circ\gamma_1)^\prime(0)$$$$=(\phi_2^{-1}\circ\phi_1)^\prime\circ\phi_1^{-1}\circ\gamma_1)(\phi_1^{-1}\circ\gamma_1)^\prime(0)$$$$=(\phi_2^{-1}\circ\phi_1)^\prime\circ\phi_1^{-1}\circ\gamma_1)(\phi_1^{-1}\circ\gamma_2)^\prime(0)$$
Realmente no estoy seguro de a dónde ir desde aquí.
