Resolver la desigualdad $\sqrt { x + 2} - \sqrt { x + 3} < \sqrt { 2} - \sqrt { 3}$

Question

Resolver para $x$ real la desigualdad $$\sqrt { x + 2} - \sqrt { x + 3} < \sqrt { 2} - \sqrt { 3}.$$ Obviamente $x\ge-2$ . Después intenté cuadrar toda la desigualdad, lo que me llevó a $x < - \frac { 18} { 4\sqrt { 6} - 5}$ . Ahora, la respuesta es $[-2;0) $ . ¿Debería haber un enfoque diferente?

Answer 1

Si diferenciamos, $\frac d{dx}(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3})=\frac{1}{2}\Big(\frac1{\sqrt{x+2}}-\frac1{\sqrt{x+3}}\Big)>0$ . Por lo tanto, siempre que $x\geq-2$ el LHS es continuo y creciente con $x$ y será igual al lado derecho cuando $x=0$ . Por lo tanto es menor que el RHS cuando $-2\leq x<0$ .

Para ver que es creciente sin cálculo, observa que $$\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}=\frac{-1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}},$$ y el denominador es claramente creciente con $x$ .

Answer 2

Primero multipliquemos la desigualdad por $-1$ para que podamos cuadrar. $$\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}<\sqrt2-\sqrt3\\\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}>\sqrt{3}-\sqrt{2}$$ Ahora vamos a cuadrar $$2x+5-2\sqrt{(x+3)(x+2)}>5-2\sqrt{6}\\x+\sqrt6>\sqrt{(x+3)(x+2)}$$ Ahora que $x+\sqrt{6}\geq-2+\sqrt 6>0$ podemos elevar la desigualdad al cuadrado de nuevo $$x^2+2\sqrt{6}x+6>x^2+5x+6\\(2\sqrt6-5)x>0$$ Esto ocurre cuando $x<0$ desde $2\sqrt6=\sqrt{24}<\sqrt{25}=5$ es negativo por lo que $x$ también debe serlo.

Answer 3

Un enfoque: \begin{align} \sqrt{ x + 2} - \sqrt{ x + 3} &< \sqrt{ 2} - \sqrt{ 3} \\ \sqrt{ x + 2} + \sqrt{ 3} &< \sqrt{ x + 3} + \sqrt{ 2} \tag{1}\\ (x + 2) + 3 + 2\sqrt{ 3}\sqrt{ x + 2} &< (x + 3) + 2 +2\sqrt{ 2}\sqrt{ x + 3} \tag{2}\\ 2\sqrt{ 3}\sqrt{ x + 2} &< 2\sqrt{ 2}\sqrt{ x + 3} \tag{3}\\ 3(x + 2) &< 2( x + 3) \tag{4}\\ x &< 0 \tag{5} \end{align} donde

$(1)$ añadido $\sqrt{ x + 3} + \sqrt{3}$

$(2)$ al cuadrado ambos lados (son positivos)

$(3)$ sustraído $x+5$

$(4)$ dividido por $2$ y al cuadrado (de nuevo ambos lados son positivos)

$(5)$ sustraído $2x+6$

Ahora combínalo con la condición $x\geq -2$ y ya está.