Si sé cuál es la longitud de uno de los lados de un hexágono regular, ¿cuál es la fórmula para calcular el radio de un círculo inscrito en él?
Ilustración:
Gusta la respuesta porque ¡no hiciste su trabajo por él!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Etiqueta el centro del círculo. Dibuja seis líneas desde el centro hasta el círculo a los vértices del hexágono. (Estas líneas serán más largas que el radio.) Esto dividirá el círculo en seis triángulos.
Pregunta para ti: Dime todo lo que puedas sobre estos triángulos. En particular, ¿cuáles son las longitudes de las líneas desde el centro?
Ahora dibuja seis radios del círculo hasta los seis bordes del hexágono. Junto con los seis "radios" antes de haber dividido el hexágono en doce triángulos.
Pregunta para ti: Dime todo lo que puedas sobre estos triángulos. En particular:
¿Son congruentes entre sí?
¿Cuáles son los ángulos de estos triángulos?
¿Cuáles son las longitudes de los lados de estos triángulos?
Y a partir de ahí te haré estas dos preguntas: ¿Cuál es el radio del círculo? y, ¿cuál es la fórmula para el área del círculo?
Yves Daoust
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JKnecht
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Dibuja los seis triángulos isósceles.
Divide cada uno de estos triángulos en dos triángulos rectángulos.
Luego tienes
$s = 2x = 2 (r \sin \theta)$
donde $r$ es el radio del círculo, $\theta$ es el ángulo superior en los triángulos rectángulos y en total hay $12$ de estos triángulos, por lo que es fácil calcular $\theta$. $x$ es el lado corto en estos triángulos rectángulos y $s$ es, por supuesto, el lado exterior en los triángulos isósceles, es decir, la longitud del lado que dices que conoces.
Por lo tanto, la fórmula para el radio es
$$r = \frac{s}{2 \sin \theta}$$
Frank
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Un hexágono regular puede ser dividido en $6$ triángulos equiláteros. Dado que el círculo inscrito es tangente a las longitudes de los lados del hexágono, podemos trazar una altura desde el centro del círculo hasta la longitud del lado del hexágono.
Usando la regla $30-60-90$, la altura es $\frac {x\sqrt{3}}{2}$ con un hexágono con un lado de longitud $x$ unidades.
Entonces, el radio del círculo es $\frac {x\sqrt{3}}{2}$ con $x$ como la longitud del lado del hexágono.
*NOTA: ¡Esto solo es cierto cuando el hexágono es un hexágono regular!
Y para el área del círculo, solo usa la fórmula para el área de un círculo ($A=\pi r^2$) donde $r$ es el radio.
Hannah Hagans
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Usando el teorema de Pitágoras, puedes convertir el hexágono en 12 triángulos de 30-60-90 o 6 triángulos equiláteros
La hipotenusa al cuadrado - la mitad de la hipotenusa al cuadrado = la longitud del radio del círculo (al cuadrado)
Diagrama. Las líneas rojas son las hipotenusas y las líneas amarillas son los radios del círculo.
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¿Es el hexágono regular?
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Pista: puedes dividir un hexágono regular en seis triángulos equiláteros.
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Sí, todos los lados son iguales. pero si hago un círculo que tiene el radio igual a un lado del hexágono, no encaja en el hexágono
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Depende de lo que se da. Por ejemplo: Radio ^ 2 + (mitad de la longitud de un lado del hexágono) ^ 2 = (mitad de la longitud de un lado del cuadrado blanco) ^ 2.
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Pista: cuál es la altura, no el lado, de un triángulo equilátero. El hexágono se divide en seis triángulos equiláteros. El radio del círculo no es el lado de este triángulo equilátero; es la altura del triángulo equilátero.
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(1/2) * 3 * longitud del lado ?
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@puffyroxxy Correcto. ¿Cuál es el radio del círculo? ¿Y cuál es el área?
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¿No es ese el radio del círculo interior?
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Sí, el radio del círculo = la altura del triángulo = $\sqrt{3}*1/2*lado del hexágono$. Por lo tanto, el área del círculo = $\pi r^2 = \pi (\sqrt{3}*1/2*lado)^2 = 3\pi*lado^2/4$.