Deje $a_i = \sum_1^i x_i$ ser la suma de un subconjunto de los posibles subsecuencias (que comienzan en $x_1$ y han estrictamente creciente sumas). Del mismo modo definen $b_j = \sum_1^j y_j$.
WLOG deje $b_n \ge a_m$ (de lo contrario cambiar el$x$$y$) en todo en lo que sigue.
Por lo $b_n \ge a_m \ge a_i$. Definir $k(i)$ el menor índice de $b_j$ s.t. $b_j \ge a_i$. Ahora podemos formar un conjunto de diferencias $D = \{b_{k(i)} - a_i, 1 \le i \le m \}$, que puede tener hasta $m$ elementos. Sin embargo, nótese que si el número de elementos es menor que $m$, dos diferencias de partido, y hemos encontrado dos subsecuencias con la misma suma, como se muestra en el último párrafo aquí. Por lo tanto vamos a asumir que todas las diferencias son distintas y proceder a encontrar una contradicción.
Ahora piensa en los elementos en $D$ $m$ palomas. Los agujeros son las $\{1, 2, 3, ... m-1\}$, lo que se demuestra que son los únicos valores posibles de estos puede tomar.
Primera nota de que $0$ no es un elemento, de lo contrario ya tenemos un caso de $a_i = b_j$. Así que todos los elementos de a $D$ son positivos.
Además, $b_{k(i)} - a_i \ge m \implies b_{k(i)} -m \ge a_i \implies b_{k(i)-1} \ge a_i$ $b_{k(i)} - b_{k(i)-1} \le m$ (recuerden $b_i$ sumas $y_i$ que son elegidos a partir de los enteros positivos sólo hasta $m$). Ya que esto iría en contra de la definición de $k(i)$, esto no es posible y, por tanto,$b_{k(i)} - a_i < m$, y los elementos de la $D$ no puede ser igual o exceder $m$.
Así, hemos demostrado que no $m$ palomas y $m-1$ agujeros, debemos tener al menos un caso en $b_{k(i)} - a_i = b_{k(j)} - a_j$ $b_{k(i)} - b_{k(j)} = a_i - a_j$ y tenemos dos subsecuencias de coincidir con las sumas.
