Aquí Griffiths, Introducción a la Electrodinámica, 2,43, si tienes el libro.
El problema plantea Halla la fuerza neta que ejerce el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada sobre el hemisferio norte. Expresa tu respuesta en función del radio $R$ y la carga total $Q$ . Nota: Diré que su carga uniforme es $\rho$ .
Mi intento de solución:
Mi idea es encontrar el campo generado por el hemisferio sur en el hemisferio norte, y utilizar el campo para calcular la fuerza, ya que el campo es fuerza por unidad de carga.
Para ello empiezo introduciendo una envoltura gaussiana de radio $r < R$ centrada en el mismo punto que nuestra esfera. Entonces en esta esfera,
$$\int E\cdot\mathrm{d}a = \frac{1}{\epsilon_0}Q_{enc}$$
¿Qué es $Q_{enc}$ ? Me siento como $Q_{enc} = \frac{2}{3}\pi r^3\rho$ ya que sólo estamos contando la carga de la mitad inferior de la esfera (la parte que está en el hemisferio sur de nuestra esfera original). (Quizás aquí esté mi error, ¿debería contar la carga de toda la esfera? y si es así, ¿por qué?)
De esta forma obtenemos $$\left|E\right|4\pi r^2 = \frac{2\pi r^3\rho}{3},$$ así que $$E = \frac{r\rho}{6\epsilon_0}.$$ Utilizándolos calculo la fuerza por unidad de volumen como $\rho E$ o $$\frac{\rho^2 r}{6\epsilon_0}$$
Entonces, por simetría, sabemos que cualquier fuerza neta ejercida sobre el cascarón superior por el inferior debe estar en la posición $\hat{z}$ por lo que obtenemos $$ F = \frac{\rho^2}{6\epsilon_0} \int^{2\pi}_0\int^{\frac{\pi}{2}}_0\int^R_0 r^3\sin(\theta)\cos(\theta) \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$$
integrando obtenemos $F = \frac{1}{4}\frac{R^4\rho^2\pi}{6\epsilon_0}$ .
Ahora Griffiths nos pide que pongamos esto en términos de la carga total, y para ello escribimos $\rho^2 = \frac{9Q^2}{16\pi^2R^6}$
Introduciendo esto en $F$ obtenemos $$F = (\frac{1}{8\pi\epsilon_0})(\frac{3Q^2}{16R^2})$$
Ahora el problema es que esto está fuera por un factor de $2$ ...
Traté de mirar hacia atrás a través y el único lugar que veo donde de alguna manera podría ganar un factor de $2$ es el punto que mencioné en la solución, donde podría incluir toda la carga, sin embargo, no puedo ver por qué debo incluir toda la carga, así que si esa es la razón estaría muy agradecido si alguien pudiera explicarme por qué necesito incluir toda la carga.
Si esa no es la razón, y tal vez este intento de solución no sea más que una completa bazofia, le agradecería que me dijera cómo debería resolver este problema en su lugar. (pero no hace falta que me lo resuelva completamente).
