Continuidad y densidad

Question

Si una función es continua en un intervalo $(a,b)$ ¿significa que es denso en el intervalo $[f(a), f(b)]$ ? ¿Puedo utilizar la continuidad de $\sin x$ para demostrar que es denso en $[0,1]$ ?

Answer 1

Creo que quiere decir si la imagen de $f$ es decir, el conjunto $\{f(x)| x\in[a,b]\}$ contienen todos los puntos del conjunto $[f(a),f(b)]$ . En ese caso, la respuesta es afirmativa. Véase el teorema del valor intermedio .

Sin embargo, puede contener algo más que $[f(a),f(b)]$ . Véase, por ejemplo $f(x)=x^2$ en $[-1,1]$ .