Grupo de Galois de $K(X)/K$

Question

Sea $K$ sea un campo infinito, si $K(X)$ es el campo de la función racional quiero encontrar el grupo de Galois de la extensión $K(X)/K$ .

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Lema 1 : Si $L$ es un campo tal que $K\subsetneq L\subseteq K(X)$ puis $[K(X):L]$ es finito.

Pruebas. Es fácil demostrar que $X$ es algebraico sobre $L$ Así que $K(X)/L$ es una extensión finita.

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Lema 2 : $Gal(K(X)/K)$ sólo contiene subgrupos finitos (propios).

prueba. Supongamos que $H<G$ es infinito; por el lema 1 tenemos que $[K(X): Fix(H)]=n$ y así $|Gal(K(X)/Fix(H))|\le n$ . Pero $Gal(K(X)/Fix(H))\supseteq H$ y esto es una contradicción.

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Ahora sé que el grupo $Gal (K(X)/K)$ es un grupo con sólo subgrupos finitos, pero no encuentro más información sobre su estructura. Tal vez este grupo depende fuertemente del campo $K$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Los métodos de la teoría de Galois no son tan buenos para estudiar las extensiones trascendentales, en su lugar deberías considerar los métodos de la geometría birracional. Para simplificar, supongamos $K$ es algebraicamente cerrado. Entonces $K (X)$ es el campo de funciones de la curva proyectiva $\mathbb{P}^1_K$ y el grupo $K$ -automorfismos de $K (X)$ es canónicamente isomorfo a (lo contrario de) el grupo de automorfismos birracionales de $\mathbb{P}^1_K$ . Esto se denomina Grupo Cremona de orden 1.

Ahora, observe que $K (X)$ se genera sobre $K$ por $X$ Así que $K$ -automorfismos de $K (X)$ están determinados unívocamente por la imagen de $X$ . Por consideraciones geométricas, vemos que la imagen de $X$ debe ser de la forma $$\frac{a X + b}{c X + d}$$ porque de lo contrario el mapa racional inducido $\mathbb{P}^1_K \to \mathbb{P}^1_K$ enviaría más de un punto a $0$ o más de un punto a $\infty$ . Además, debemos tener $a d - b c \ne 0$ de modo que $$\frac{1}{a d - b c} \frac{d X - b}{- c X + a}$$ corresponde al automorfismo inverso. Así, el grupo de automorfismo de $K (X)$ en $K$ no es otro que el grupo de Möbius $\mathrm{PGL}_2 (K)$ .