La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial se define como
$$ f(x;\lambda)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} &\text{if } x \geq 0 \\ 0 & \text{if } x<0 \end{cases} $$
Su función de verosimilitud es
$$ \mathcal{L}(\lambda,x_1,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n f(x_i,\lambda)=\prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x}=\lambda^ne^{-\lambda\sum_{i=1}^nx_i} $$
Para calcular el estimador de máxima verosimilitud he resuelto la ecuación
$$ \frac{d\ln\left(\mathcal{L}(\lambda,x_1,\dots,x_n)\right)}{d\lambda}\overset{!}{=}0 $$
para $\lambda$ .
$$ \begin{align} \frac{d\ln\left(\mathcal{L}(\lambda,x_1,\dots,x_n)\right)}{d\lambda} &= \frac{d\ln\left(\lambda^ne^{-\lambda\sum_{i=1}^nx_i}\right)}{d\lambda} \\ &= \frac{d\ln\left(n\ln(\lambda)-\lambda\sum_{i=1}^n x_i\right)}{d\lambda} \\ &= \frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n x_i \end{align} $$
Finalmente obtenemos $$\lambda = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n x_i}$$
Espero que esto sea correcto hasta aquí.
Donde tengo más dudas es en las pruebas de coherencia.
Entiendo que ser coherente equivale en este caso a para converger en probabilidad a $\lambda$ . Así que tengo un hinch, que algo así como
$$ \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}\left(\mathcal{L}(\lambda,x_1,\dots,x_n)-\lambda\right)=0 $$
me llevará a una solución.
¿Hasta aquí estoy en lo cierto? En caso afirmativo, ¿cómo puedo solucionarlo? Una pista sería genial.
Actualización:
Utilizando las pistas de los usuarios @Did y @cardinal intentaré mostrar la coherencia demostrando que $\frac{1}{\Lambda_n}\to\frac{1}{\lambda}$ para $n\to\infty$ donde
$$ \Lambda_n=\frac{n}{\sum\limits_{k=1}^nX_k} $$
Desde $E(X_1)=\int\limits_0^\infty\lambda xe^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}$ y las variables aleatorias $X_i$ para $i\ge1$ son independientes el ley de los grandes números implica que
$$ P\left(\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{1}{\Lambda_n}-\frac{1}{\lambda}\right|=0\right)=P\left(\limsup_{n\to\infty}\left|\frac1n\sum_{k=1}^nX_k-\frac{1}{\lambda}\right|=0\right)=1 $$
lo que implica la convergencia en casi todas partes. Esto implica convergencia en probabilidad de $\Lambda_n$ a $\lambda$ lo que equivale a coherencia.
¿Es correcta esta prueba?
