Si existe un campo magnético homogéneo que varía con el tiempo, digamos $\vec{B} = B_0 \sin(t) \hat z$ Esto debería, según la ley de inducción de hoy en día, inducir un campo eléctrico. Como el problema parece simétrico en todas las direcciones, el campo eléctrico en una espira circular no debería cambiar. Así, si consideramos una espira de radio $r$ obtendríamos $2 \pi r E_\phi = - \pi r^2 B_0 \cos(t) \implies E_\phi = - \frac{r}{2} B_0 \cos(t)$ . Pero eso significa que la intensidad del campo E varía con el radio de la espira elegida. Y como está dirigido en el $\hat \phi$ apunta en direcciones diferentes según la orientación del bucle elegido. ¿Cómo es posible? ¿Qué ocurriría en realidad?
Respuesta
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Suponga que su campo B apunta a lo largo del eje z en coordenadas cilíndricas. $$ \vec{B} = B_o \sin(t)\ \hat{z}$$
La ley de Ampere (en ausencia de corrientes y en el vacío), dice $$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
Ahora tomando el rizo de su campo B tenemos $$ \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0,$$ ya que el rizo de un campo espacialmente uniforme es cero.
Esto significa que el campo eléctrico es un tiempo independiente, Esto es contrario a su declaración de E-campo.
Consideremos ahora la ley de Faraday, vemos que el rizo del campo eléctrico debe ser igual a $-B_{0} \cos(t)\ \hat{z}$ . Esto significa que $$\frac{1}{R}\left( \frac{\partial (RE_{\phi})}{\partial R} - \frac{\partial E_r}{\partial \phi} \right) = -B_{0} \cos(t)$$
Si suponemos que no hay carga presente, entonces la divergencia de $\vec{E}$ debe ser cero y por lo tanto $E_r = 0$ y así $$E_{\phi} = -\frac{R}{2} B_0 \cos(t) + {\rm const}$$
De acuerdo, la ley de Faraday nos dice que un campo E variable en el tiempo coexiste con el campo B variable en el tiempo, pero la ley de Ampere nos dice que el campo E es independiente del tiempo.
¿Qué puede fallar? Bueno, hay que hacer suposiciones para llegar a esta solución. Asumimos que no hay carga presente y asumimos que no hay corrientes presentes. Creo que lo que has demostrado es que no puede producir dicho campo B sin que haya corrientes presentes en el sistema.
Si introducimos una densidad de corriente $\vec{J}$ y tomamos el campo E derivado de la ley de Faraday, entonces la ley de Ampere nos dice que $$ \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = -\vec{J},$$ $$- \mu_0 \epsilon_0 \frac{R}{2}B_0 \sin(t) \hat{\phi} = -\vec{J}$$ $$ \vec{J} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{R}{2}B_0 \sin(t) \hat{\phi}$$
Así, mientras que el campo B puede ser homogéneo, se necesita una distribución de corriente y un campo E no homogéneos para que sea coherente.
