Sea $N$ , $K$ números naturales de forma que $K > N > 1$ .
Sea $V$ un conjunto de $K$ vectores en $\mathbb{R}^N$ : $V = \{v_1, \ldots, v_K \in \mathbb{R}^N\}$ . En primer lugar, necesito encontrar un $V$ de modo que, para cualquier subconjunto $W$ de $V$ de $N$ elementos ( $|W| = N$ ) los vectores en $W$ constituyen una base para $\mathbb{R}^N$ .
Por ejemplo $N = 2$ . Ahora, dejemos que $\alpha_k = \frac{\pi}{2} \frac{k}{K}$ . Los vectores $v_k = (\cos(\alpha_k), \sin(\alpha_k))$ forman un conjunto de $K$ vectores distintos. Cada par de vectores tomados de ese conjunto es independiente, por lo tanto forma una base para $\mathbb{R}^2$ .
Otro ejemplo $N = 3$ y $K = 6$ . Los vectores $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , $(0, 0, 1)$ , $(2, 1, 1)$ , $(1, 2, 1)$ , $(1, 1, 2)$ satisfacen la condición anterior: tomo tres cualesquiera de ellas, todas forman una base para $\mathbb{R}^3$ .
Mi intuición me dice que en los números reales esto es definitivamente posible. Por ejemplo, empecemos con la base canónica, luego sumemos $K - N$ vectores a la misma. Cuando tengo que añadir un vector, lo que tengo que hacer es buscar todos los (N - 1)-hiperplanos generados por todos los subconjuntos posibles de $V$ que tienen $N - 1$ elementos en él, a continuación, sólo tiene que encontrar un vector que no se encuentra en ninguno de ellos. Esto definitivamente suena factible, pero tal vez estoy de alguna manera engañar.
Ahora bien, ¿hasta qué punto se puede generalizar esto? ¿Puede $N$ y $K$ ser arbitraria? ¿Es posible una forma constructiva de construir $V$ dado $K$ ?
Ahora bien, si es posible hacer algo así con vectores reales, ¿es posible hacerlo con vectores cuyos componentes tengan todos valor entero y sean lo más pequeños posible? Quiero decir: si eso funciona con números reales, puedo tener aproximaciones tan cercanas de un vector real con números enteros como quiera, y siendo mi problema discreto, eso definitivamente suena suficiente. Pero, ¿cómo puedo evitar que mis componentes enteros sean enormes?
