Compute $\iint\limits_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS$

Question

La pregunta que me han hecho es:

Compute $\iint\limits_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS$ donde $\vec{F}(x,y,z)=(x,y,z)$ para la superficie/parametrización en 1a).

En la pregunta 1a) he calculado la parametrización de la superficie $x^2-y^2+z^2=0$ como

$\vec{r}(\alpha,\beta)=(\alpha cos\beta, \alpha, \alpha sin\beta)$ con $\alpha\in [0,1], \beta \in [0,2\Pi]$ .

No sé qué es exactamente lo que esta pregunta me pide que calcule.

Answer 1

En realidad , la cuestión es evaluar la integral de superficie sobre la superficie , que has parametrizado en $1(a)$ . Así que..,

La fórmula es $\iint\limits_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\iint\limits_S\vec{F}\cdot\vec{n}$ $|\vec{r_{\alpha}}\times \vec{r_{\beta}}| \cdot d\alpha d\beta$ donde $S:\{\vec{r}(\alpha,\beta)=(\alpha \cos\beta, \alpha, \alpha \sin\beta):\alpha\in [0,1], \beta \in [0,2\pi] \}$

Toma, $\vec{n}$ es la normal exterior a la superficie $S$ viene dada por $\frac{\vec{r_{\alpha}}\times \vec{r_{\beta}}}{|\vec{r_{\alpha}}\times \vec{r_{\beta}}| }$ .

Usted tiene $\vec{F}=(x,y,z)$ y , aquí puede utilizar $x=\alpha \cos\beta$ , $y=\alpha$ , $z=\alpha \sin\beta$

Por suerte , $\vec{F}\cdot\vec{n}=0$ (aquí)

Por lo tanto,

$\iint\limits_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=0$ .

EDITAR: $ \vec{r_{\alpha}}$ = $\frac{\partial \vec{r}}{\partial \alpha}$