Cómo demostrar que una secuencia converge puntualmente pero no de manera uniforme

Question

Cómo demostrar que la secuencia $f_n:\mathbb R\to\mathbb R$ dado por $f_n(x)=\frac{x^2+nx}n$ , $n \in \mathbb{N}$ converge puntualmente pero no de manera uniforme en $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Puede reescribir $$ f_n(x)=x+\frac{x^2}n.$$ Así que, puntualmente, $$ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=x $$ para todos $x\in\mathbb R$ .

En cuanto a la convergencia uniforme, el problema es que para $x$ suficientemente grande, necesitas un $n$ para controlar la plaza. Dado un $n$ si toma $x=\sqrt{n}$ entonces $$ |f_n(x)-x|=\frac{x^2}n=\frac nn=1. $$ Esto niega la convergencia uniforme. Más explícitamente, dado $\varepsilon=1$ para cada $n_0$ existe $n>n_0$ y $x\in\mathbb R$ con $|f_n(x)-x|\geq\varepsilon$ .