¿Para qué? $a,b \in \mathbb Z$ es $\frac12(\sqrt a+\sqrt b)$ un número entero algebraico

Question

Recientemente he estado trabajando en un examen parcial de práctica para mi clase de teoría de números, y aquí hay un problema que me he encontrado. Como no hay soluciones publicadas, me gustaría verificar que lo que estoy haciendo está realmente en el camino correcto.

6. Buscar todos $a, b\in\mathbb Z$ tal que $\frac12(\sqrt a+\sqrt b)$ es un número entero algebraico.

Primero puse $x = \frac12(\sqrt a + \sqrt b)$ y después de cuadrar ambos lados, pasar por encima del $a,b$ término, y cuadrando de nuevo, obtengo: $16x^4 -8x^2(a+b) + (a-b)^2 = 0$ . Por lo tanto, $\frac12(\sqrt a + \sqrt b)$ es algebraico si $2\mid(a+b)$ y $4\mid(a-b)$

Answer 1

Basándome en los comentarios mi respuesta parece ser correcta arriba.

$\frac12(\sqrt a + \sqrt b)$ es algebraico si 2|(a+b) y 4|(a-b)