Máximo de la función $f_n(x) = (1 - (1 - x^2)^n) / x$

Question

Considere la siguiente función $f_n$ definido en el intervalo $(0,1]$ : $$f_n(x) = \frac{1 - (1 - x^2)^n}{x}$$ Determinar el máximo de esta función para cualquier número natural $n$ .

He calculado la derivada de esta función: $f_n(x)' = \frac{2n x^2(1 - x^2)^{n - 1} + (1 - x^2)^n - 1 }{x^2}$ y de $f_n(x)' = 0$ y denotando $t := 1 - x^2 \in [0, 1]$ que obtuve: $(1 - 2n)t^n + 2nt^{n - 1} -1= 0$ . Ahora para determinar las raíces de este polinomio en $t$ He denotado la función $g(t) = (1 - 2n)t^n + 2nt^{n - 1} -1$ y calculando la derivada de $g$ obtenemos que $g$ aumenta cuando $t \in [0, 1 - \frac{1}{2n - 1}]$ y es decreciente cuando $t \in [1 - \frac{1}{2n - 1}, 1]$ . Entonces $g(0) = -1$ , $g(1) = 0$ y $g(1 - \frac{1}{2n - 1}) > 0$ . Por lo tanto de esto deducimos que el máximo único $t$ pertenece a $[0, 1 - \frac{1}{2n-1}]$ o, en otras palabras, el único $x$ que maximiza $f$ se encuentra en $[\frac{1}{\sqrt{2n - 1}}, 1]$ .

Pero no he podido pasar de este punto y si alguien tiene alguna idea se lo agradecería mucho.

Answer 1

Voy a añadir a la respuesta de dezdichado para encontrar la constante exacta sobre la tasa de crecimiento del máximo. Sea $x = \frac{c}{\sqrt{n}} + O\left(n^{-3/2}\right)$ . Puesto que debe ser cierto que $$\lim_{n \to \infty}(1-2n)\left( 1-x^2 \right)^{n} + 2n\left(1-x^2 \right)^{n-1}-1=0$$

$x = \frac{c}{\sqrt{n}}$ para obtener $$\lim_{n \to \infty}(1-2n)\left( 1-\left(\frac{c}{\sqrt{n}}\right)^2 \right)^{n} + 2n\left(1-\left(\frac{c}{\sqrt{n}}\right)^2 \right)^{n-1}-1=0$$

Equivalentemente, esto es $$\lim_{n \to \infty}\left( 2c^2\left( 1-\frac{c^2}{n} \right)^{n-1}+\left( 1-\frac{c^2}{n} \right)^{n}-1 \right) = 0$$

Desde $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x$ se simplifica en $$(2c^2 +1)e^{-c^2}-1=0$$

$c$ es entonces la solución positiva de $\left(2c^2+1\right)e^{-c^2}=1$ . El valor máximo viene dado entonces por $$\frac{2c}{2c^2+1}\sqrt{n} + O\left(n^{-1/2}\right) \approx 0.638 \sqrt{n} + O\left( n^{-1/2} \right)$$

He aquí algunos resultados numéricos relativos a la precisión de esta aproximación.

$$\left( \begin{array}{cccc} n & \text{actual maximum} & \text{approximation} & \text{relative error} \\ 10 & 2.084592 & 2.018079 & 3.1907 \cdot 10^{-2} \\ 100 & 6.401867 & 6.381727 & 3.1459 \cdot 10^{-3} \\ 1000 & 20.18713 & 20.18079 & 3.1416 \cdot 10^{-4} \\ 10000 & 63.81927 & 63.81727 & 3.1411 \cdot 10^{-5} \\ 100000 & 201.8086 & 201.8079 & 3.1411 \cdot 10^{-6} \\ \end{array} \right)$$

Answer 2

A partir de la solución de @Varun Vejalla $$(2c^2 +1)e^{-c^2}-1=0\tag 1$$ deje $t=2c^2+1$ hacer $$\sqrt e\, e^{-\frac{t}{2}} t-1=0$$ Ahora dejemos que $t=2u$ hacer $$2\sqrt e\,u \,e^{-u}-1=0$$ es decir $$u \,e^{-u}=\frac 1{2\sqrt e}\implies u=-W_{-1}\left(-\frac{1}{2 \sqrt{e}}\right)$$ donde $W(.)$ es la función de Lambert.

Volver $c$ la solución de $(1)$ es entonces $$c=\sqrt{-\frac{1}{2} \left(1+2 W_{-1}\left(-\frac{1}{2 \sqrt{e}}\right)\right)}$$ $$\frac{2c}{2c^2+1}=-\frac{\sqrt{-\frac{1}{2} \left(1+2 W_{-1}\left(-\frac{1}{2 \sqrt{e}}\right)\right)}}{W_{-1}\left(-\frac{1}{2 \sqrt{e}}\right)}\approx 0.638173$$

Ahora, podemos llevar la expansión a órdenes superiores y obtener para $$\frac{\sqrt{n} \left(1-\left(1-\frac{c^2}{n}\right)^n\right)}{c}$$ $$\frac{1-e^{-c^2}}{c}\sqrt n\left(1+\frac{c^4}{2 \left(e^{c^2}-1\right) n}-\frac{c^6 \left(3 c^2-8\right)}{24 \left(e^{c^2}-1\right) n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)$$ Esto daría $$\left( \begin{array}{cc} n & \text{approximation} \\ 10 & 2.08428 \\ 100 & 6.40186 \\ 1000 & 20.1871 \\ 10000 & 63.8193 \\ 100000 & 201.809 \\ 1000000 & 638.173 \end{array} \right)$$

Modifier

Si consideramos

$$(1-2n)\left( 1-\left(\frac{c}{\sqrt{n}}\right)^2 \right)^{n} + 2n\left(1-\left(\frac{c}{\sqrt{n}}\right)^2 \right)^{n-1}-1=0$$ y ampliarlo para valores grandes de $n$ tenemos directamente $$\left((2c^2+1) e^{-c^2} -1\right)-\frac{c^4 \left(2 c^2-3\right) e^{-c^2}}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ entonces el valor de $c$ .

Ahora, sustituyendo $e^{-c^2}$ por $\frac 1 {2c^2+1}$ el resultado más simple $$\frac{2 c }{2 c^2+1}\sqrt{n} \left(1+\frac{c^2}{4 n}+\frac{c^4 \left(8-3 c^2\right)}{48 n^2}+\frac{c^6 \left(c^4-8 c^2+12\right)}{96 n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right) \right)$$ que, para $n=50$ da $4.54116$ que se comparará con el resultado $4.54118$ de Wolfram Alpha según informa @dezdichado.

Es interesante observar que $\frac{2 c }{2 c^2+1}\approx 0.638173$ mientras que $(1-e^{-1}) \approx 0.632121$ .

Llevar la expansión a órdenes mucho más altos como $O\left(\frac{1}{n^{10}}\right)$ es posible estimar correctamente los resultados para valores pequeños de $n$ $$\left( \begin{array}{ccc} n & \text{approximation} & \text{solution}\\ 2 & 1.08728 & 1.08866 \\ 3 & 1.24187 & 1.24281 \\ 4 & 1.38937 & 1.39000 \\ 5 & 1.52553 & 1.52598 \\ 6 & 1.65166 & 1.65200 \\ 7 & 1.76940 & 1.76967 \\ 8 & 1.88010 & 1.88032\\ 9 & 1.98483 & 1.98502 \\ 10 & 2.08443 & 2.08459 \end{array} \right)$$

Answer 3

Si considera que $f_n(\frac{1}{\sqrt{n}})$ para grandes $n$ entonces el numerador: $$1 - \left(1-\frac 1n\right)^n\sim1 - e^{-1}$$ y por lo tanto su función está en ese valor es aproximadamente: $$f_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\sim\sqrt{n}(1-e^{-1}).$$ Esto significa que el máximo de $f_n(x)$ tiende a infinito a medida que $n\to\infty.$

Para $n = 50,$ wolfram alpha da el máximo como $4.54$ mientras que la expresión anterior se refiere a $4.469,$ por lo que el máximo para cada $n$ no parece muy alejada de la heurística anterior.

Wolfram para $n = 50.$