Me piden que encuentre la función de onda de la partícula en un pozo sujeta a un potencial adicional $$V(x,t)=\frac{\pi x \hbar}{L}\delta(t).$$ Ya lo he resuelto $$\psi(x,t)=\exp\left(\frac{-i}{\hbar}\int^t_0H(t')dt'\right)\psi(x,0).$$ Entiendo esta ecuación, pero no estoy seguro de cómo tratar el potencial delta porque 0 no está incluido. Yo estaba pensando en la integración de - $\epsilon$ a $ \epsilon$ . Y suponemos que está en estado fundamental para t<0. Supongo que esto significa $$\psi(x,0)=\sqrt{2/L}\sin{(\pi x/L}).$$ Agradecemos cualquier aportación. (He visto algunos mensajes con respecto a la teoría de la perturbación, pero no hemos cubierto nada de eso)
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Stefano
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Bien, sin el potencial delta la función de onda es
$$\tag{1} \psi_0(x,t)~=~\exp\left[ -\frac{iE_1 t}{\hbar}\right] \phi(x) ,$$
donde
$$\tag{2} \phi(x)~:=~\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{\pi x}{L}, \qquad E_1~:=~ \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{L^2}.$$
A continuación debemos incorporar el efecto "completo" de la función delta $\delta(t)$ (frente a la "mitad" del efecto si elegimos erróneamente empezar en $t=0$ ). En otras palabras, sólo sabemos que (1) es cierta para tiempos estrictamente negativos $t<0$ . Si $\epsilon>0$ denota una pequeña cantidad positiva infinitesimal, entonces
$$ \tag{3} \psi(x,-\epsilon)~=~ \phi(x).$$
Por lo tanto
$$\tag{4} \psi(x,t)~=~T\exp\left[ -\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t\!dt^{\prime}\hat{H}(t^{\prime}) \right]\psi_0(x,t_0) $$
para $t_0<0$ donde $T$ denota ordenación temporal. Sin embargo, no es tan fácil trabajar directamente en términos de la ec. (4). Es más fácil integrar la Ecuación de Schrödinger de $t=-\epsilon$ a $t=\epsilon$ como sugiere OP:
$$ \tag{5} i\hbar(\psi(x,\epsilon)-\psi(x,-\epsilon))~=~\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\!dt^{\prime} \hat{H}(t^{\prime})\psi(x,t^{\prime})~=~\frac{\pi\hbar x}{L}\psi(x,0). $$
Así que la función de onda tiene una discontinuidad en $t=0$ . A continuación supondremos que el valor en $t=0$ es la media de los límites de la derecha y de la izquierda: $$\tag{6} \psi(x,0)~=~\frac{\psi(x,\epsilon)+\psi(x,-\epsilon)}{2}.$$
De las ecuaciones (3), (5) y (6) se deduce que
$$\tag{7} \psi(x,\epsilon) ~=~\frac{1-\frac{i\pi x}{2L}}{1+\frac{i\pi x}{2L}}\phi(x) .$$
Lo que queda es encontrar la función de onda $\psi(x,t)$ para finito $t>0$ . Eso se lo dejamos a OP.
Timothy
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Quizá quieras probar con una transformada de Laplace o de Fourier en el tiempo sobre la ecuación de Schrodinger. Entonces obtendrás lo que es efectivamente una ecuación de función propia como $\hat{H} \Psi = E \Psi$ pero con las frecuencias (es decir, la "energía" real) $\omega$ determinada por las condiciones de contorno en $\Psi$ . Dado que conoces la condición inicial, yo diría que deberías utilizar una transformada de Laplace, ya que te dará la dependencia temporal del nuevo estado.
En cuanto a cómo manejar la función delta en cero, piénsalo así: \begin{equation} F(0) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta(x) F(x) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\epsilon}^{0} \delta(x) F(x) + \int_{0}^{\epsilon} \delta(x) F(x) \end{equation} y $\delta(x)$ se supone una función par, por lo que $\delta(-x) = \delta(x)$ . Así que la regla habitual es tomar la integral sobre "la mitad" de una función delta como la mitad del valor de la función en ese punto.
