Por favor, verifique si es correcto. Y no sé dónde está la suposición de tener característica $\not = 2$ por favor coméntelo.
Lema: Sea $F$ sea un campo con característica $\not = 2$ , $a, b \in F$ y $\sqrt{a},\sqrt{b} \not \in F$ . Entonces $$F(\sqrt{a}) = F(\sqrt{b}) \iff \sqrt{a b} \in F.$$
Prueba: $``\leftarrow"$ Utilice $\sqrt{b} = \sqrt{a} \sqrt{ab}\frac{1}{a}.$
$``\rightarrow"$ $\text{Gal}(F(\sqrt{a})/F) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$ Tenemos que $\text{Gal}(F(\sqrt{a})/F) = \{\text{Id}, \sigma \}$ con $\sigma$ la conjugación. Tenemos la base $\{1, \sqrt{a}\}$ para $F(\sqrt{a})/F$ Por lo tanto $F(\sqrt{a}) = \{x+y\sqrt{a}\; |x,y \in F \}$ actuando la conjugación como $x+y\sqrt{a} \overset{\sigma}{\mapsto}x -y\sqrt{a}$ . Por lo tanto, tenemos que $\sigma(z) = z \iff z \in F$ .
Así que tenemos $\sigma(\sqrt{a}) = - \sqrt{a}$ .
Ahora tomando una ruta similar, y usando la suposición, también podemos tener $\{1, \sqrt{b} \}$ como base para $F(\sqrt{a})$ y también tendríamos que $\sigma$ actúa como $x+y\sqrt{b} \overset{\sigma}{\mapsto} x - y\sqrt{b}$ .
Así que tenemos $\sigma(\sqrt{b}) = - \sqrt{b}$ .
Por fin: $\sigma(\sqrt{a b}) = \sqrt{ab}$ .
