¿Qué es una "imagen" en mecánica cuántica?

Question

Uno de los ingredientes básicos de la mecánica cuántica es la posibilidad de trabajar en diferentes "imágenes". Así, mientras que normalmente trabajamos en la Imagen de Schrödinger en la que los estados evolucionan según la ecuación de Schrödinger $$ i\partial_t |\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle,$$ a veces es conveniente trabajar en el Imagen de Heisenberg en el que se fija el estado del sistema y se hacen evolucionar los propios operadores mediante la ecuación de Heisenberg, $$ i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}A(t) = [H,A(t)] +i\frac{\partial A}{\partial t},$$ o incluso en un extraño híbrido de ambos llamado imagen de interacción .

En general, los libros de texto hacen un buen trabajo explicando los puntos en común y las diferencias entre esas tres, mostrando que son equivalentes y demostrando cómo se puede cambiar de una imagen a otra. Sin embargo, hay una pregunta que a menudo queda sin respuesta y que flota en el aire sobre todo el proceso, dándole un injustificado aire de misterio a los ojos de un primerizo:

• ¿qué es, en abstracto, una "imagen" en este sentido?

Esto es en parte lo que hace que el formalismo resulte ligeramente inquietante para un recién llegado, porque el uso de la frase "imagen de Schrödinger" implica que "Schrödinger" es un adjetivo o modificador del término general "imagen", pero ese término general nunca se explica. Además, las imágenes de Heisenberg y de Schrödinger suelen presentarse como formalismos muy diferentes y es difícil para un principiante ver cómo pueden entenderse como dos versiones de la misma cosa; si se pudiera, entonces una "imagen" sería una forma de especializar el formalismo general, pero, de nuevo, eso rara vez se explica en los textos introductorios.

Answer 1

Para responder a esto, se necesita un poco de lenguaje. Los observables fundamentales de la mecánica cuántica no son ni de estados ni de operadores; en su lugar, los observables fundamentales son elementos matriciales, de la forma $$ \langle\varphi |A|\psi\rangle. $$ En el caso más general, puede haber dependencia temporal en los estados, de la forma $$ i\partial_t |\psi(t)\rangle = H_\mathrm S|\psi(t)\rangle,$$ así como la dependencia temporal de los operadores, de la forma $$ i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}A(t) = [H_\mathrm H,A(t)] +i\frac{\partial A}{\partial t}.$$ Si se combinan estas dos, la evolución temporal de los observables fundamentales es de la forma $$ i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle\varphi(t)|A(t)|\psi(t)\rangle = \left\langle\varphi(t)\middle|\bigg[H_\mathrm S+H_\mathrm H, A(t)\bigg] +i\frac{\partial A}{\partial t}\middle|\psi(t)\right\rangle .\tag{$ * $} $$ Esta es la ecuación fundamental de tiempo-evolución de la mecánica cuántica, donde $H=H_\mathrm S+H_\mathrm H$ tiene que ser el hamiltoniano completo del sistema, y toda construcción que sea consistente con esta forma es equivalente en términos de sus predicciones experimentales.

En este lenguaje, entonces,

una imagen es una elección de cómo particionar $\boldsymbol H$ en $\boldsymbol H_{\mathrm{\mathbf S}}$ y $\boldsymbol H_{\mathrm{\mathbf H}}$ .

Así, la imagen de Schrödinger corresponde a la elección de $H_\mathrm H=0$ y $H_\mathrm S=H$ La imagen de Heisenberg es lo contrario, y se tiende a llamar "imagen de interacción" a un conjunto de opciones intermedias, aunque debería quedar claro que no existe una única imagen de este tipo.

Answer 2

En realidad, las imágenes de Heisenberg y Schroedinger no son equivalentes en abstracto.

La imagen de Schroedinger corresponde al estudio de la evolución de los estados cuánticos, la imagen de Heisenberg a la evolución de los observables cuánticos. Los observables cuánticos forman una $*$ -y los estados cuánticos son elementos de su dual. Para simplificar, limitémonos a los observables acotados, de modo que formen un espacio de Banach (a C $*$ -álgebra), así como los estados.

Ahora, se requiere que la evolución sea un grupo de mapas lineales continuos en uno de los dos espacios de Banach (estados para Schr, observables para Heis). En los observables, en realidad se requiere que sea un grupo de automorfismos del álgebra. No obstante, en ambas imágenes definimos un mapa $t\mapsto U (t) $ donde el $U (t) $ son operadores lineales continuos en el respectivo espacio de Banach. Entonces es natural preguntarse por las propiedades de continuidad del mapa mencionado con respecto a las diferentes topologías disponibles en el espacio de operadores lineales continuos en un espacio de Banach. Se dice entonces que el grupo es, por ejemplo, débil, fuerte o uniformemente continuo. Estas propiedades de continuidad son muy importantes para determinar la estructura del grupo. Por ejemplo, si queremos que los estados obedezcan la ecuación de Schroedinger, necesitamos que el grupo sea fuertemente continuo.

La dualidad entre las imágenes de Schroedinger y Heisenberg viene dada supuestamente por el hecho de que el grupo de evolución sobre observables induce un grupo de evolución sobre los estados por dualidad de espacios topológicos. A su vez, un grupo de evolución sobre los estados induce un grupo de evolución sobre el doble dual de los observables (que suele ser mayor que el espacio de los observables). El problema es que las propiedades de continuidad del grupo no son preservadas por la dualidad. La continuidad uniforme es la única que se conserva, pero el generador de un grupo uniformemente continuo está acotado (y sabemos que los hamiltonianos físicamente relevantes no lo están). La continuidad fuerte no se conserva y, por tanto, aunque tengamos un grupo fuertemente continuo en la imagen de Heisenberg, en general el grupo dual en la imagen de Schroedinger puede no serlo y, por tanto, la ecuación de Schroedinger puede no cumplirse. Por otra parte, no está garantizado que el grupo dual en observables mapee observables en observables, ya que puede mapear objetos del dual doble que no sean observables.

Answer 3

La palabra "picture" es la traducción inglesa del término en la primera lengua en la que se habló de este concepto, a saber, la palabra alemana "Bild" (igual que la revista alemana). La "Heisenberg Bild" fue la primera imagen que se conoció.

Y se supone que este término no es más que un sinónimo informal de la palabra "representación". Cuando un artista hace un cuadro, es una representación del objeto que ha pintado. Así que el cuadro también es una representación entre artistas. El uso de esta jerga de artistas permite ciertas "inexactitudes". El cuadro no tiene por qué ser una "representación" en algún sentido riguroso particular definido por los matemáticos. Y las distintas imágenes no tienen por qué ser exacta, fiable y universalmente equivalentes, aunque yo me decantaría por la respuesta de que las imágenes son exactamente equivalentes.

Pero las representaciones de Heisenberg, Schrödinger y de interacción son representaciones en el sentido de que las operaciones particulares que conocemos "fenomenológicamente", como la evolución por el tiempo $\Delta t$ (esperando algún tiempo), son representado mediante diferentes transformaciones reales de los objetos matemáticos de la teoría, ya sea mediante una transformación del vector de estado, de los operadores o de ambos.

En este sentido, la palabra "imagen" sólo indica "una traducción de los conceptos que conocemos experimentalmente, independientemente de las teorías, a algunas operaciones y símbolos matemáticos particulares". La traducción al lenguaje de las matemáticas es análoga a la creación de un cuadro por un artista. Por tanto, cuando se especifica completamente dicha traducción a símbolos matemáticos, se ha pintado un cuadro, una representación, del mundo que nos rodea.

Las imágenes surgieron por primera vez en la mecánica cuántica. Los físicos clásicos nunca han hablado de "imágenes". Es porque todas las teorías clásicas de la física eran "imágenes" en sí mismas. Se suponía que reflejaban directamente lo que hay ahí fuera y, por tanto, la "traslación" antes mencionada era única y trivial. Sólo la mecánica cuántica se ha dado cuenta de que la traducción entre los objetos matemáticos de nuestra teoría y las observaciones puede ser un poco más sutil, razón por la cual es deseable hablar de ello, admitir todas las traducciones posibles y estudiar sus equivalencias, si las hay.