Hay muchos ejemplos construidos con desplazamientos ponderados. El siguiente es un ejemplo de espacio de Hilbert.
Consideremos el espacio de Hilbert $L^2\big((0,1),\mu\big)$ donde $\mu$ denota la medida definida por $$\mu(A):=2\lambda(A\cap(0,\tfrac12))+\lambda(A\cap(\tfrac12,1)).$$ para todos los conjuntos medibles de Lebesgue A. Aquí $\lambda$ es la medida de Lebesgue. Además, sea $T(t)$ sea el semigrupo nilpotente de desplazamiento a la izquierda. Evidentemente, $T$ satisface la propiedad de semigrupo y, puesto que la norma $\|\cdot\|_{\mu}$ es equivalente a la norma $\|\cdot\|_{\lambda}$ , $T$ es fuertemente continua.
Claramente, $\|T(t)\|\leq 2$ .
Además, vemos que $T(t) = 0$ para todos $t>1$ .
Por último, consideremos la función $$f_t = \frac{1}{\sqrt{t}}\chi_{(\frac12,\frac12+t)}$$ para $t\in(0,\tfrac12)$ . Claramente, $\|f_t\|_{\mu} = 1$ y $$\|T(t)f_t\|_{\mu} = 2.$$
AÑADIDO:
Teóricamente, siempre puede introducir una norma equivalente en su espacio que convierta su semigrupo en un semigrupo de contracción, véase Lema II.3.10 en
Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer , Semigrupos de un parámetro para ecuaciones de evolución lineal Textos de posgrado en matemáticas. 194. Berlín: Springer. xxi, 586 p. (2000). ZBL0952.47036 .
Sin embargo, en la mayoría de los casos la construcción es muy poco constructiva y sólo puede utilizarse con fines teóricos.
Es más importante que hay ejemplos en los espacios de Hilbert donde es imposible encontrar un equivalente Espacio de Hilbert (es decir, el semigrupo no es similar a un semigrupo de contracción), véase
Packel, E. W. , Un análogo semigrupo del contraejemplo de Foguel Proc. Am. Math. Soc. 21, 240-244 (1969). ZBL0175.13802 .
