Problema de convención de dirección con velocidad angular y desplazamiento angular

Question

El ejemplo 16.17, en la página 380 de la parte de dinámica de la 14ª edición de R.C. Hibbeler's Engineering Mechanics: Estática y Dinámica, de R.C. Hibbeler, dice:

El cigüeñal $AB$ gira con una aceleración angular en el sentido de las agujas del reloj de $20\;\text{rad/s}^2$ . Determine la aceleración del pistón en el instante $AB$ está en la posición indicada. En este instante $\omega_{AB} = 10\;\text{rad/s}$ y $\omega_{BC} = 2.43\;\text{rad/s}$ .

El libro da la respuesta $a_C = -13.5\;\text{ft/s}^2$ utilizando el método de la ecuación de aceleración relativa.

Si lo hago así:

Sea $AC = x, \angle BAC = \theta$ , $$x = \sqrt{0.25^2+0.75^2+2\times0.25\times0.75\times \cos(\theta + \sin^{-1}(\sin(\theta)/3))}\tag{1}$$ $$\frac {dx}{dt} = \frac {dx}{d\theta} \frac {d\theta}{dt}$$ $$\frac {d^2x}{dt^2} = \frac {d^2x}{d\theta^2}\left(\frac {d\theta}{dt}\right)^2 + \frac {dx}{d\theta} \frac {d^2\theta}{dt^2} = \frac {d^2x}{d\theta^2}\omega^2 + \frac {dx}{d\theta} \alpha$$

Entonces $a_C = \frac {d^2x}{dt^2}$ evaluado en $\theta=\frac {\pi}{4},\;\omega=10\;\text{rad/s},\;\alpha=20\;\text{rad/s}^2$ que da $a_C = -22.3\;\text{ft/s}^2$ .

¿Cuáles deberían ser los signos de $\omega$ y $\alpha$ y por qué, dada la convención implícitamente especificada en la Ec (1) sobre $\theta$ ?

Answer 1

Tras una inspección más minuciosa, ¡por fin me he dado cuenta del error! Hay una incoherencia con la dirección. Supongamos que el sentido contrario a las agujas del reloj es positivo. Cuando su $\theta$ AUMENTA en magnitud, entonces su vara ${AB}$ se mueve en SENTIDO CONTRAHORARIO, por lo que $\omega$ es POSITIVO.

Ahora bien, si su vara es para mover en el sentido de las agujas del reloj entonces $\omega$ ¡debe ser NEGATIVO! Lo mismo ocurre con $\alpha$ -- 'pega' un negativo delante también.

Negar $\alpha$ y llegarás a la respuesta correcta. Salud.

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Si eliges que las agujas del reloj sean positivas, la cosa se complica un poco más, debido a la forma en que está planteada la ecuación.