Definición de ultrafiltro M normal

Question

Cuando se define lo que es un ideal normal, ¿hará alguna diferencia si

1. se requiere que todas las funciones que son regresivas en un conjunto positivo con respecto al ideal sean constantes o si
2. ¿exiges que todas las funciones que son regresivas en todas partes excepto en un conjunto en el ideal?

En lo que he leído se opta por la primera opción. Pero entonces, ¿qué pasa a la hora de definir qué es un ultrafiltro M normal? ¿Qué definición tomar?

Answer 1

Supongo que $M$ es un modelo transitivo de (algún fragmento suficientemente grande) de $\mathrm{ZF}$ y que $U$ es un filtro sobre algún ordinal $\kappa$ . A $M$ -ultrafiltro $U$ en $\kappa \in |M|$ es un subconjunto $U \subseteq \mathcal P^{M}(\kappa)$ s.t.

1. $\emptyset \not \in U$ ,
2. $y,z \in U \implies y \cap z \in U$ ,
3. $y \in U \wedge y \subseteq z \in \mathcal P^M(\kappa) \implies z \in U$ ,
4. para todos $y \in \mathcal P^M(\kappa) \colon y \in U \wedge (\kappa \setminus y) \in U$ y
5. para todas las funciones $f \colon \kappa \to \kappa$ tal que $f \in |M|$ y $\{ \alpha \in \kappa \mid f(\alpha) < \alpha \} \in U$ hay algo de $\beta < \kappa$ tal que $\{ \alpha < \kappa \mid f(\alpha) = \beta \} \in U$ .

El punto 5. es lo que pedías. Cualquier función $f \colon \kappa \to \kappa$ que existe en $M$ y es regresivo en un $U$ -positivo (que es lo mismo que estar en $U$ como $U$ es ultra,) es constante en a $U$ -conjunto positivo.