¿Cómo se puede encontrar todas las soluciones de entero a $x^y-y^x=k$, para una k dada?
Ejemplo caso $x^y-y^x=11$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los números de $x^y - y^x$ volar al $x$ $y$ obtener grandes. Además de lo trivial, soluciones de la forma $(k+1, 1)$ los únicos valores de $k < 1000$ dar soluciones son:
$$\begin{align} 3^2 - 2^3 &= 1 \\ 2^5 - 5^2 &= 7 \\ 3^4 - 4^3 &= 17 \\ 2^6 - 6^2 &= 28 \\ 2^7 - 7^2 &= 79 \\ 3^5 - 5^3 &= 118 \\ 2^8 - 8^2 &= 192 \\ 4^5 - 5^4 &= 399 \\ 2^9 - 9^2 &= 431 \\ 3^6 - 6^3 &= 513 \\ 2^{10} - 10^2 &= 924 \end{align}$$
Para un pequeño análisis teórico, supongamos $x < y$ (si $x > y$, el resultado es negativo). A continuación,$y^x = x^x (1 + \frac{y - x}{x})^x < x^x e^{y-x}$, por lo que $$x^y - y^x \geq x^x (x^{y-x} - e^{y-x}).$$ So for $x \geq 3$ this blows up enormously. So for small $k$, only small values of $x$ and $$ y son posibles.
