Sea $\Omega$ sea un conjunto contable $\mathcal A=2^{\Omega}$ sea la colección de todos los subconjuntos de $\Omega$ Entonces $\dots$

Question

Sea $\Omega$ sea un conjunto contable $\mathcal A=2^{\Omega}$ sea la colección de todos los subconjuntos de $\Omega$ Entonces

1. Si $\mu:A\rightarrow [0,\infty]$ se define por $\mu(E)=|E|$ que $|E|$ es el número de elementos en E.Entonces $\mu$ es una medida y es medida de recuento en $\Omega$ .
2. lf $\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},\dots\}$ es una enumeración de $\Omega$ y si $\Omega$ es infinito,sea $A_{n}=\{\omega_{n+1},\omega_{n+2},\dots\}$ entonces $A_{n}\downarrow \emptyset $ y $\mu(\emptyset )=0 \neq \infty=\lim_{n\to \infty} \mu(A_{n}).$
3. Si $\mu$ es una medida general, posiblemente infinita, definida sobre un álgebra $\mathcal A$ de subconjuntos de cualquier conjunto $\Omega$ y si $A,A_{n}\in \mathcal A$ , $A_{1}\supset A_{2}\supset,\dots A=\cap_{n=1}^{\infty}A_{n}$ Entonces demuestre que $\mu(A)=\lim_{n\to \infty}\mu(A_{n})$ siempre que exista algún $k$ tal que $\mu(A_{k} )\lt \infty $ .

Gracias por su ayuda

Answer 1

Siento el retraso en la respuesta, pero ayer tenía prisa.

2) $A \downarrow \emptyset$ significa $A =\bigcap_{n\in \mathbb N} A_n = \emptyset$ . Supongamos que $A \neq \emptyset$ . Entonces $\exists x \in A$ Así pues $\forall n \in \mathbb N : x \in A_n$ . Pero porque $\{\omega_1, \omega_2 ,\dots\}$ es una enumeración, existe un índice $i$ con $\omega_i = x$ . Ahora $\omega_i \notin A_n$ para $n > i$ Así que $x=\omega_i \notin A$ .

$\mu(\emptyset) = 0$ (porque $\mu$ es una medida). Y $\mu (A_n) = \infty$ Así pues $\lim\limits_{n\to\infty} \mu(A_n) = \infty \neq 0$ .

Para 3) eche un vistazo a http://www.math.uah.edu/stat/prob/Measure.html parte 8.