Tengo problemas para alcanzar una expresión específica para el modelo reológico de Maxwell con 2 modos a partir de una fórmula dada.

Question

Tengo una expresión para un modelo reológico viscoelástico de Maxwell con 2 modos.

He intentado la derivación para ambos lados, pero siempre parece que llego a un callejón sin salida. También he intentado obtener la segunda derivación, pero me faltan algunos términos que deberían haberse quedado atrás. Sé que tengo que conseguir la segunda derivación de la expresión original para llegar a la primera (PUEDO VER ESO), pero realmente no puedo conseguir que coincida.

¿Alguna opinión o aportación al respecto?

Tau es un tensor de tensión por lo tanto irrelevante con el tiempo y 1, 2 son relevantes ya que son tiempos de relajación.

expresión original $\boldsymbol{\tau}=\int_{-\infty}^{t}\left(\mathrm{G}_{1} \mathrm{e}^{-\left(t-t^{\prime}\right) / \lambda_{1}}+\mathrm{G}_{2} \mathrm{e}^{-\left(t-t^{\prime}\right) / \lambda_{2}}\right) \dot{\gamma}\left(\mathrm{t}^{\prime}\right) \mathrm{dt}^{\prime}$

expresión final $\boldsymbol{\tau}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) \frac{\partial \boldsymbol{\tau}}{\partial \mathrm{t}}+\lambda_{1} \lambda_{2} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{\tau}}{\partial \mathrm{t}^{2}}=\left(\eta_{1}+\eta_{2}\right)\left[\dot{\gamma}+\left(\frac{\lambda_{2} \eta_{1}+\lambda_{1} \eta_{2}}{\eta_{1}+\eta_{2}}\right) \frac{\partial \dot{\boldsymbol{\gamma}}}{\partial t}\right]$

Para

$\eta_{1}=\lambda_{1} *{G}_{1}$

$\eta_{2}=\lambda_{2} *{G}_{2}$

Answer 1

Sea $\phi_1(t) = \int_{-\infty}^{t}\mathrm{G}_{1} \mathrm{e}^{-\left(t-t^{\prime}\right) / \lambda_{1}} \dot{\gamma}\left(\mathrm{t}^{\prime}\right) \mathrm{dt}^{\prime}$ y $ \phi_2(t) = \int_{-\infty}^{t}\mathrm{G}_{2} \mathrm{e}^{-\left(t-t^{\prime}\right) / \lambda_{2}} \dot{\gamma}\left(\mathrm{t}^{\prime}\right) \mathrm{dt}^{\prime}$ .

Utilizando la regla de Leibniz $\frac{\partial }{\partial t} \int_{-\infty}^t f(t,t') \, dt' =f(t,t) + \int_{-\infty}^t \frac{\partial }{\partial t}f(t,t') \, dt'$ obtenemos para $j = 1,2$ ,

$$\frac{\partial \phi_j}{\partial t} = G_j\dot{\gamma}\left(\mathrm{t}\right)- \frac{1}{\lambda_j}\phi_j(t),\quad \frac{\partial^2 \phi_j}{\partial t^2} = G_j \frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t} + \frac{1}{\lambda_j^2}\phi_j(t)$$

Así,

$$\tau = \phi_1 + \phi_2 ,\\\frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{\partial \phi_1}{\partial t}+ \frac{\partial \phi_2}{\partial t} = G_1\dot{\gamma}+ G_2 \dot{\gamma} - \frac{\phi_1}{\lambda_1} - \frac{\phi_2}{\lambda_2},$$

y $$\frac{\partial^2 \tau}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 \phi_1}{\partial t^2}+ \frac{\partial \phi_2^2}{\partial t^2} = G_1\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t}+ G_2\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t } - \frac{1}{\lambda_1}\frac{\partial \phi_1}{\partial t} - \frac{1}{\lambda_2}\frac{\partial \phi_2}{\partial t} = \\G_1\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t}+ G_2\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t } - \frac{G_1 \dot{\gamma}}{\lambda_1}+ \frac{\phi_1}{\lambda_1^2}- \frac{G_2 \dot{\gamma}}{\lambda_2}+ \frac{\phi_2}{\lambda_2^2}$$

Entonces tenemos

$$(\lambda_1+ \lambda_2)\frac{\partial \tau}{\partial t} = -(\phi_1 + \phi_2) - \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \phi_1 - \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \phi_2 + (\lambda_1+\lambda_2)(G_1+G_2)\dot{\gamma} ,\\\lambda_1 \lambda_2 \frac{\partial^2 \tau}{\partial t^2} = \lambda_1\lambda_2(G_1 + G_2)\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t } + \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \phi_1 + \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \phi_2- \lambda_2G_1 \dot{\gamma} - \lambda_1G_2 \dot{\gamma}$$

Sumando términos, obtenemos $$ \tau + (\lambda_1+ \lambda_2)\frac{\partial \tau}{\partial t}+ \lambda_1 \lambda_2 \frac{\partial^2 \tau}{\partial t^2} \\= (\lambda_1 G_1+ \lambda_1G_2 + \lambda_2G_1 + \lambda_2 G_2) \dot{\gamma} - (\lambda_2G_1 + \lambda_1 G_2) \dot{\gamma} + (\lambda_2 \lambda_1 G_1 + \lambda_1 \lambda_2 G_2) \frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t} \\ = (\lambda_1G_1+ \lambda_2 G_2) \dot{\gamma} + (\lambda_2 \lambda_1 G_1 + \lambda_1 \lambda_2 G_2) \frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t}\\ = (\eta_1 + \eta_2) \dot{\gamma} + (\lambda_2 \eta_1 + \lambda_1 \eta_2)\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t} = (\eta_1 + \eta_2) \left[\dot{\gamma} + \frac{\lambda_2 \eta_1 + \lambda_1 \eta_2}{\eta_1+ \eta_2}\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t}\right]$$