Si $(2^n+1)\theta=\pi$ , $2^n\cos\theta \cos2\theta\cos2^2\theta \cdots\cos2^{n-1}\theta=$

Question

Si $(2^n+1)\theta=\pi$ , $2^n\cos\theta \cos2\theta \cos2^2\theta \cdots\cos2^{n-1}\theta=$

A)-1

B)1

C)1/2

D)ninguna

Si tomo $\sin$ en ambos lados $$\sin(2^n+1)\theta=\sin\pi$$ Desde $\sin\pi=0$ $$(2^n+1)\theta=0$$ $$\theta=0$$ y $$2^n+1=0$$ $$2^n=-1$$

Así que en la primera ecuación, cada valor de cos se convertirá en 1 como $\cos0$ es siempre 1.

$2^n=-1$ Así que $(-1)1=-1$

Pero la respuesta es 1, así que ¿qué hay de malo en mi proceso?

Answer 1

Utilice el hecho de que

$$2^n\cos\theta\cos2\theta\cos2^2\theta\cdots\cos2^{n-1}\theta = \frac{\sin2^n\theta}{\sin\theta}$$

Como hemos $(2^n+1)\theta = \pi \implies2^n\theta = \pi-\theta, \theta\ne0$

Así que..,

$$2^n\cos\theta\cos2\theta\cos2^2\theta\cdots\cos2^{n-1}\theta=\frac{\sin2^n\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin(\pi-\theta)}{\sin\theta}=\frac{\sin\theta}{\sin\theta}=1 \ $$