Teorema de Stallings para productos libres de grupos

Question

Existe un conocido teorema que afirma que:

Teorema(Stallings): Para cualquier inmersión $f$ de un grafo finito $D$ a $G$ existe un espacio de recubrimiento finito $D '$ de $G$ que amplía $f$ . Más concretamente, existe una incrustación de $D$ en $D'$ y la restricción del mapa de cobertura a $D$ coincide con $f$ .

Esto implica que todo subgrupo f.g. $H$ de un grupo libre $F$ entonces $H$ es un factor libre en un subgrupo de índice finito de $F$ .

Mi pregunta es si tenemos un grupo que es un producto libre de grupos, que tiene rango finito de Kurosh (se puede escribir como un producto libre de finitamente muchos grupos libremente indecomponibles), entonces si hay en la literatura algo similar al teorema de Stallings, utilizando grafos de grupos o árboles de Bass- Serre en lugar de grafos finitos.

Para ser más precisos, si partimos de un grafo de grupos $\Gamma$ que corresponde a una descomposición en producto libre de $G$ por lo que en particular tiene estabilizadores de aristas triviales, entonces ¿existe algo así como un "recubrimiento finito" de $\Gamma$ que corresponde a subgrupos de índice finito de $G$ y partiendo de cualquier inmersión de un grafo de grupos a $\Gamma$ ¿es posible completarse hasta una "cobertura finita"?

Si alguien conoce algo similar o al menos algún caso especial, sería de gran ayuda. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Esta es una de esas cosas "bien conocidas" que cada uno hace de diferentes maneras. Creo que la noción de espacio de cobertura de un grafo de grupos fue desarrollada por Bass. Los detalles son bastante técnicos; yo prefiero pensar en coberturas de grafos de espacios, que viene a ser lo mismo. (Creo que Scott y Wall fueron los primeros en adoptar este punto de vista).

En tu caso, cada espacio de borde puede tomarse como un punto. He demostrado algunas generalizaciones del teorema de Stallings que mencionas en los siguientes artículos:

• Los grupos elementalmente libres son separables por subgrupos. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 95 (2007), nº 2, 473-496.
• Teorema de Hall para grupos límite. Geom. Funct. Anal. 18 (2008), nº 1, 271-303.

Las ideas de estos artículos son similares a algunos de los trabajos de Wise (anteriores a la teoría de los complejos cúbicos especiales).

En el lenguaje de esos documentos, el teorema que quieres se puede enunciar de la siguiente manera:

Teorema: Sea $X$ sea un grafo de espacios en el que cada espacio de borde es un punto y $\pi_1X$ está finitamente generada. Si $Y\to X$ es un revestimiento previo de láminas finas y $\pi_1Y$ está finitamente generada, entonces $Y\to X$ puede completarse con un mapa de cobertura de láminas finas $\widehat{X}\to X$ .

Deberías consultar los documentos enlazados para ver la definición formal de una precubierta, pero esencialmente es una inmersión que se restringe a un mapa de recubrimiento de los espacios de vértices.

No es nada difícil: la prueba es una generalización directa del teorema de Stallings que citas.

Answer 2

Creo que la variante algebraica de lo que preguntas es la propiedad de separabilidad de subgrupos en grupos (que está muy bien estudiado). Recordemos que un grupo, $G$ es subgrupo separable si para cualquier grupo finitamente generado, $\Delta \leq G$ y cualquier $g \notin \Delta$ existe un subgrupo de índice finito $H \leq G$ tal que $g \notin \Delta H$ .

No se puede esperar generalizar la separabilidad de subgrupos de grupos libres a productos libres arbitrarios de grupos libremente indecomponibles, ya que la separabilidad de subgrupos implica finitud residual (y cualquier grupo simple infinito no es residualmente finito). Sin embargo, se sabe que los grupos libres y, más en general, los grupos superficiales son separables por subgrupos. De hecho, cualquier grupo que contenga un subgrupo de índice finito que sea separable por subgrupos es separable por subgrupos. Para las pruebas de estos hechos, véase la obra de Peter Scott Los subgrupos de grupos de superficie son casi geométricos de JLMS, 1978. Las ideas principales de este documento se generalizaron en gran medida: la forma moderna de esto se llama ahora el terminación canónica de Haglund y Wise. Véase la sección 6 en Complejos especiales de cubos de GAFA, 2008.