Ecuación integral $f(x) = e^{-cx} + \lambda\int_0^xce^{-cy}f(x-y)dy$

Question

Intento resolver la siguiente ecuación

$$f(x) = e^{-cx} + \lambda\int_0^xce^{-cy}f(x-y)dy,\quad x>0 $$

donde $c$ y $\lambda$ son constantes y $f$ es una función continua acotada en $\mathbb{R}$ . ¿Alguien puede recomendar un método o un libro que pueda llevar a resolver este tipo de ecuaciones? Gracias de antemano.

Answer 1

La ecuación dada puede escribirse como $$f(x)=e^{-cx}+\lambda \int_0^x ce^{-cy}f(x-y)\,dy = e^{-cx}+\lambda\int_0^x ce^{-c(x-y)}f(y)\,dy $$ $$\Rightarrow f(x)=e^{-cx}+\lambda e^{-cx}\int_0^x e^{cy}f(y)\,dy \Rightarrow e^{cx}f(x)=1+\lambda c\int_0^xe^{cy}f(y)\,dy$$ Diferencia ambos lados con respecto a $x$ para obtener: $$e^{cx}f'(x)+ce^{cx}f(x)=\lambda ce^{cx}f(x) \Rightarrow\frac{f'(x)}{f(x)}=c(\lambda-1)$$ La anterior es una ecuación diferencial simple con solución: $$f(x)=Ae^{c(\lambda-1)x}$$ donde $A$ es una constante. Para determinar $A$ , poner $x=0$ en la ecuación dada para encontrar que $f(0)=1$ . Con este valor de $f(0)$ , $A$ es igual a $1$ Por lo tanto, la respuesta final es: $$f(x)= e^{c(\lambda-1)x}$$