¿Existe una ecuación para describir los polígonos regulares?

Question

Por ejemplo, el cuadrado se puede describir con la ecuación $|x| + |y| = 1$ . Entonces, ¿existe una ecuación general que pueda describir un polígono regular (en el plano cartesiano 2D?), dado el número de lados necesarios?

Usando el sitio de Wolfram Alpha, esta entrada dio un casi-cuadrado: PolarPlot(0.75 + ArcSin(Sin(2x+Pi/2))/(Sin(2x+Pi/2)*(Pi/4))) (x from 0 to 2Pi)

Esta entrada dio un casi octógono: PolarPlot(0.75 + ArcSin(Sin(4x+Pi/2))/(Sin(4x+Pi/2)*Pi^2)) (x from 0 to 2Pi)

La idea es que a medida que el número de lados de un polígono regular llega al infinito, el polígono regular se aproxima a un círculo. Dado que un círculo puede describirse mediante una ecuación, ¿puede un polígono regular describirse también mediante una ecuación? Para nuestro propósito, se trata de un polígono regular convexo (triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, etc.).

Se puede suponer que el centro del polígono regular está en el origen $(0,0)$ y el radio es $1$ unidad.

Si no hay tal ecuación, ¿se puede demostrar la inexistencia? Si existe son pero sólo para determinados polígonos (por ejemplo, sólo para $n < 7$ o algo así), ¿se pueden proporcionar esas ecuaciones?

Answer 1

Cualquier polígono (regular o no) puede ser descrito por una ecuación que implique sólo valores absolutos y polinomios. Aquí hay una pequeña explicación de cómo hacerlo.

Digamos que una curva $C$ viene dada por la ecuación $f$ si tenemos $C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2, \, f(x,y) = 0\}$ .

• Si $C_1$ y $C_2$ vienen dadas por $f_1$ y $f_2$ respectivamente, entonces $C_1 \cup C_2$ viene dada por $f_1 . f_2$ y $C_1 \cap C_2$ viene dada por $f_1^2 + f_2^2$ (o $|f_1| + |f_2|$ ). Así que si $C_1$ y $C_2$ puede describirse mediante una ecuación que incluya valores absolutos y polinomios, entonces también $C_1 \cup C_2$ y $C_1 \cap C_2$ .

• Si $C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2, \, f(x,y) \ge 0\}$ entonces $C$ viene dada por la ecuación $|f|-f$ .

Ahora, cualquier segmento $S$ puede describirse como $S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2, \, a x + b y = c, \, x_0 \le x \le x_1, \, y_0 \le y \le y_1\}$ que viene dada por una única ecuación por los principios anteriores. Y como la unión de segmentos también está dada por una ecuación, se obtiene el resultado.

EDIT : Para el caso concreto del octógono de radio $r$ , si denota $s = \sin(\pi/8)$ , $c = \cos(\pi/8)$ entonces un segmento viene dado por $|y| \le rs$ y $x = rc$ para el cual una ecuación es

$$f(x, y) = \left||rs - |y|| - (rs - |y|)\right| + |x-rc| = 0$$

Así que creo que el octógono está dado por

$$f(|x|,|y|) \ f(|y|,|x|) \ f\left(\frac{|x|+|y|}{\sqrt{2}}, \frac{|x|-|y|}{\sqrt{2}}\right) = 0$$

Para obtener una fórmula general para un polígono regular de radio $r$ con $n$ lados, denota $c_n = \cos(\pi/n)$ , $s_n = \sin(\pi/n)$ y

$$f_n(x+iy) = \left||rs_n - |y|| - (rs_n - |y|)\right| + |x-rc_n|$$

entonces su polígono está dado por

$$\prod_{k = 0}^{n-1} f_n\left(e^{-\frac{2 i k \pi}{n}} (x+iy)\right) = 0$$

En función de $n$ se pueden utilizar simetrías para bajar un poco el grado (como se hizo con $n = 8$ ).

Answer 2

Aquí está una ecuación paramétrica que he hecho para un regular $n$ -gon, codificado en R:

n=5;
theta=(0:999)/1000;
r=cos(pi/n)/cos(2*pi*(n*theta)%%1/n-pi/n);
plot(r*cos(2*pi*theta),r*sin(2*pi*theta),asp=1,xlab="X",ylab="Y",
main=paste("Regular ",n,"-gon",sep=""));

Y foto:

La fórmula que he utilizado es

$$\displaystyle r=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\left(\theta \mod \frac{2\pi}{n}\right) -\frac{\pi}{n}\right)} \; .$$

Esta ecuación es en realidad la ecuación polar de la recta que pasa por el punto $(1,0)$ y $(\cos(2\pi/n),\sin(2\pi/n))$ que contiene una de las aristas. Al restringir el rango de la variable $\theta$ al intervalo $[0,2\pi/n[$ De hecho, sólo conseguirás esa ventaja. Ahora, queremos replicar ese borde girándolo repetidamente a través de un ángulo $2\pi/n$ para obtener el polígono completo. Pero esto también se puede conseguir utilizando la función módulo y reduciendo todos los ángulos al intervalo $[0,2\pi/n[$ . De esta manera, se obtiene la ecuación polar que propongo.

Así que, utilizando las gráficas polares y la función modulo, es bastante fácil hacer regular $n$ - de los gones.

Answer 3

Aquí está otro ecuación paramétrica para un $n$ -Gono con radio unitario:

$$\begin{align*}x&=\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}(2\lfloor u\rfloor+1)\right)-(2u-2\lfloor u\rfloor-1)\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\sin\left(\frac{\pi}{n}(2\lfloor u\rfloor+1)\right)\\y&=\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\sin\left(\frac{\pi}{n}(2\lfloor u\rfloor+1)\right)+(2u-2\lfloor u\rfloor-1)\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}(2\lfloor u\rfloor+1)\right)\end{align*}$$

para $0 \leq u \leq n$ .

La procedencia de este conjunto es un poco más transparente si cambiamos a la notación matricial-vectorial:

$$\begin{pmatrix}\cos\left(\frac{\pi}{n}(2\lfloor u\rfloor+1)\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{n}(2\lfloor u\rfloor+1)\right)\\\sin\left(\frac{\pi}{n}(2\lfloor u\rfloor+1)\right)&\cos\left(\frac{\pi}{n}(2\lfloor u\rfloor+1)\right)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\\(2u-2\lfloor u\rfloor-1)\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\end{pmatrix}$$

y vemos que la construcción consiste en girar y copiar el segmento de línea que une los puntos $(\cos\left(\frac{\pi}{n}\right),\pm\sin\left(\frac{\pi}{n}\right))$ $n$ veces alrededor de un círculo.

---

Aquí hay varios Mathematica código:

GraphicsGrid[Partition[Table[
  ParametricPlot[Through[{Re, Im}[
        (Cos[Pi/n] + I (2u - 2 Floor[u] - 1)Sin[Pi/n])*
         Exp[(I Pi/n) (2 Floor[u] + 1)]],
     {u, 0, n}], {n, 3, 11}], 3]]

Answer 4

Lo siguiente probablemente no esté en el espíritu del juego, pero ¿qué tal un ecuación paramétrica ? Si estamos dispuestos a utilizar números complejos para representar puntos en el plano, podríamos utilizar $$z=t\exp(2\pi ik/n) +(1-t)\exp(2\pi i(k+1)/n),\qquad 0 \le t<1,\quad k=0, 1, \dots, n-1$$

Answer 5

Simplemente:

r(θ) = sec(θ%(π/n')-π/n)

Cuando n' = n/2 y % es el operador de módulo.

Funcionaría igual de bien con la cosecante que con la secante.

También la apotema sería 1 y el radio sec(-π/n).