Mostrar La esfera unitaria es convexa

Question

¡Buenas noches, chicos!

Tengo que demostrar que la esfera unitaria representada por es convexa.

Se dice que un conjunto es convexo cuando $sx + (1 - s)y \in M$ donde $x, y \in M$ y $s \in (0,1)$

He leído en wikipedia que esto se puede demostrar sobre la desigualdad del triángulo, pero creo que se puede resolver de otra manera? ¿Sería esto suficiente como prueba:

Para la esfera unidad, tenemos que demostrar que $0 \leq sx + (1 - s)y \leq 1$ (porque $||x||\leq 1$ por lo tanto, $0 \leq x,y \leq 1$ ). Dado que el valor máximo que pueden tomar x e y es 1, el máximo que puede alcanzar la ecuación es 1 (cuando s=1,x=1 o s=0,y=1). Lo mismo se puede demostrar para el mínimo 0, por lo tanto está realmente entre 0 y 1. ¿Acabado?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Desgraciadamente no se puede decir de un vector si está entre dos reales o no. Por eso hay que considerar la norma de $sx+(1-s)y$ . Pero como sugiere la Wikipedia, y básicamente lo que has averiguado de otra manera, ves que si $x,y\in \bar{B_{X}}$ y $s\in[0,1]$ entonces por desigualdad triangular: \begin{align*} ||sx+(1-s)y||\leq ||sx||+||(1-s)y||=s||x||+(1-s)||y||\leq s+(1-s)=1 \end{align*} Por lo tanto $sx+(1-s)y\in \bar{B_{X}}$ y así $\bar{B_{X}}$ es convexa.

Answer 2

Pistas:

Como has dicho, utiliza la desigualdad del Triángulo:

$||a + b|| <= ||a|| + ||b||$ con a = sx, b = (1-s)y

Y recuerda s, 1-s son constantes, y hay una fórmula:

$||\alpha * z|| = |\alpha| * ||z||$ z es un vector, y $\alpha$ es una constante

También, $||x|| = 1, ||y|| = 1 $