He hecho un montón de trabajo y simplemente deseo comprobar que tiene sentido. Tengo una parábola hueca de altura b y radio de base b ( $ z = \frac{x^2 + y^2}{b}$ limitado por z = b)
1) superficie del paraboloide
$da = 2\pi rds$ (Es una pantalla infinitesimalmente pequeña)
$r = \sqrt{x^2 + y^2} \implies z = \frac{r^2}{b}$
$ds = \sqrt{dr^2 + dz^2)} = \sqrt{1 + (\frac{dz}{dr})^2)}dr = \sqrt{1 + \frac{4r^2}{b^2}}dr$
$$\therefore Area = \int da = 2 \pi \int_0^br \sqrt{1 + \frac{4r^2}{b^2}}dr = \frac{\pi b^2 (5 \sqrt{5} - 1)}{6}$$
$$\therefore \sigma = Mass/ Area$$
2) Centro de masa (suponiendo una densidad de masa uniforme)
Claramente por simetría que las secciones transversales son circulares, el centro de masa residirá en el punto (0,0, Zcm)
$Z_{cm} = \frac{1}{M}\int_0^m z dm$
$$dm = \sigma da = \sigma 2\pi r ds = \sigma 2\pi r \sqrt{1 + \frac{4r^2}{b^2}}dr$$
$$\therefore z_{cm} = \frac{1}{M }\int zdm = \frac{1}{M }\int \frac{x^2 + y^2}{b} dm = \frac{\sigma 2 \pi}{M b }\int_0^b r^3 \sqrt{1 + \frac{4r^2}{b^2}}dr$$ Utilizar la identidad $cosh^2 - sinh^2 = 1$ (y un poco de ayuda de wolfram }:p ) consigo que esta integral salga a :
$$\frac{\sigma \pi b^3( \frac{2}{15} + \frac{10 \sqrt{5}} {3})}{8M} = b \frac{3(\frac{2}{15} + \frac{10 \sqrt{5}} {3})}{4(5 \sqrt{5} - 1)} = Z_{cm}$$
3) Momento de inercia en torno al eje Z
El eje de rotación pasa justo por el centro de masa de la parábola, así que no tengo que preocuparme por el viejo teorema de los ejes paralelos.
$I_z = \int_0^m r^2 dm$
Pero $dm = \sigma 2\pi r \sqrt{1 + \frac{4r^2}{b^2}}dr$ $$\therefore I_z = 2 \pi \sigma \int_0^b r^3 \sqrt{1 + \frac{4r^2}{b^2}} dr$$
Estoy un poco confundido porque esta es la misma integral que antes, y no estoy seguro de si se supone que debe ser así. de todos modos, ya sé la respuesta a este ahora, así que entiendo:
$$I_z = \frac{ \sigma 2 \pi b^4 (1 + 25 \sqrt{5}}{120} = \frac{M b^2 (1 + 25 \sqrt{5})}{10 (5 \sqrt{5} - 1)} $$
Creo que este resultado es justo, $mb^2$ multiplicado por $z_{cm}$ No estoy seguro de si es porque he hecho algo mal, es una coincidencia o porque se supone que tiene que ser así.
