¿cómo puedo encontrar el valor máximo de esta función?

Question

¿Puede alguien ayudarme a calcular esta función? $$f(y)=\max\limits_{\mu>0}[\exp(\frac{-n\mu^{2}}{\sigma^{2}})\exp(\frac{2\mu}{\sigma^{2}}\sum_{k=1}^{n}y_{k})]$$ donde $y_{k}$ es una variable aleatoria con distribución normal. $$$$ Gracias de antemano.

Lo siento, había olvidado poner la segunda potencia de $\mu$ en el primer exponencial (lo he modificado).

Answer 1

Para maximizar $\exp(g(\mu)/\sigma^2)$ con $g(\mu)=-n\mu^2+2\mu s$ y $s=\sum\limits_{k=1}^ny_k$ hay que maximizar $g(\mu)$ . Desde $g'(\mu)=-2n\mu+2s$ es positivo para $\mu\lt s/n$ y negativo para $\mu\gt s/n$ , $g(\mu)$ es máxima en $\mu=s/n$ y $f(y)=\exp(g(s/n)/\sigma^2)$ . Desde $g(s/n)=s^2/n$ , $f(y)=\exp(s^2/(n\sigma^2))$ .

Answer 2

Si $S = \sum_{k=1}^n y_k$ Si desea maximizar $g(\mu) = \exp((2S - n)\mu/\sigma^2)$ en $\mu > 0$ . Presumiblemente $\sigma^2 > 0$ . Si $2S-n > 0$ el supremum es $+\infty$ : $g(\mu) \to +\infty$ como $\mu \to +\infty$ . Si $2S-n = 0$ , $g(\mu) = 1$ para todos $\mu$ . Si $2S-n < 0$ el supremum es $1$ con $g(\mu) < 1$ para $\mu > 0$ y $g(\mu) \to 1$ como $\mu \to 1$ .

Dudo que ésta sea la respuesta a tu pregunta, pero no sé cuál es.