¿Es cierto que $ AB^TBA^T = BAA^TB^T $

Question

De esta respuesta en Stats Stackexchange https://stats.stackexchange.com/a/353715/274404 No estoy de acuerdo con la última parte.

\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}

Si considero que B es una matriz cuadrada y A es la matriz identidad, implicaría que $ B^T B= B B^T$ . ¿Me he perdido algo?

Answer 1

La única forma en que puedo dar sentido a esa afirmación del autor es en el caso de que $Z$ es un vector fila . Para un vector fila con vector media $m$ la matriz de covarianza es $E\left[(Z-m)^T(Z-m)\right]$ por lo que la covarianza de $ZA^T$ es $$\begin{align} \operatorname{Cov}(ZA^T)=E \left[((Z-m)A^T)^T((Z-m)A^T)\right]&=E\left[A(Z-m)^T(Z-m)A^T\right]\\ &=AE\left[(Z-m)^T(Z-m)\right]A^T\\ &=A\operatorname{Cov}(Z)A^T. \end{align}$$ Así que la afirmación es correcta, pero la prueba es errónea.

Answer 2

Tu sospecha es correcta: el autor de la respuesta enlazada estaba equivocado. De hecho, en esa respuesta, si $AZ$ es un producto matriz-vector válido, entonces $ZA^T$ no tiene sentido a menos que $Z$ es $1\times1$ .