Orientación natural en un espacio vectorial casi complejo

Question

Sólo quiero comprobar que lo que he entendido es correcto. Supongamos que tenemos un espacio vectorial. Supongamos que tenemos un operador lineal $J : V \rightarrow V$ tal que $J^2 = -1$ . Entonces V como espacio vectorial complejo admite la siguiente base

$$\{e_1,J \circ e_1,\ldots,e_n,J \circ e_n\}$$

Consideremos la base dual dada por $$\{\alpha_1, \alpha_1 \circ J,\ldots,\alpha_n,\alpha_n \circ J\}$$

Lo siguiente cuando se aplica al elemento base tendrá valor = 2. Es decir:

$$(\alpha_1 \wedge \alpha_1 \circ J \wedge \ldots \wedge \alpha_n \circ J)(e_1,J \circ e_1,\ldots,e_n,J \circ e_n) = 2 > 0$$

Por tanto, tiene una orientación natural.

Answer 1

La idea mecánica de la prueba (a saber, formar la forma superior $e_1 \wedge J e_1 \wedge \cdots \wedge e_n \wedge J e_n$ y declararlo positivo) es sin duda una forma razonable de llevarlo a cabo, pero hay algunos problemas con el argumento tal y como está escrito.

1. Si $\dim_{\Bbb R} V = 2n$ entonces la estructura compleja $J : V \to V$ realiza $V$ como un espacio vectorial complejo de dimensión $\dim_{\Bbb C} V = n$ para enfatizar, escribiré este espacio vectorial complejo como $\widetilde V$ aunque normalmente utilizamos el mismo símbolo para ambos espacios. En particular, una base de $\widetilde V$ debería haber $n$ elementos: $(e_1, \ldots, e_n)$ . Dada cualquier base de este tipo, se obtiene sin hacer ninguna elección adicional una base $(e_1, J e_1, \ldots, e_n, J e_n)$ de $V$ y es esta base real la que usas para construir una orientación sobre $V$ .

2. Tal y como se presenta aquí, la construcción implica hacer una elección $(e_a)$ de base (compleja) de $\widetilde V$ . Para demostrar que la orientación es natural, hay que demostrar que la orientación que se produce es independiente de la base que se elija. (Después de todo, fijar una base $(f_a)$ de cualquier espacio vectorial $W$ determina una orientación de $W$ declarando $f_1 \wedge \cdots \wedge f_n$ sea positivo, pero si $\dim W > 0$ hay de otras opciones base que conducen a la orientación opuesta---de hecho, en general los espacios vectoriales no llevan orientaciones naturales).

3. Probablemente no necesites este dato para este argumento, pero la cobasis $(\alpha_1, \alpha_1 \circ J, \ldots, \alpha_n, \alpha_n \circ J)$ que mencionas no es dual a la base $(e_1, J e_1, \ldots, e_n, J e_n)$ . Comparando los segundos elementos, por ejemplo, se obtiene $$(\alpha_1 \circ J) (J e_1) = \alpha_1(J^2 e_1) = \alpha_1(- e_1) = -\alpha_1(e_1) = -1 ,$$ no $1$ .