¿La mayor diferencia de edad entre tatarabuelos?

Question

Si subo $n$ generaciones, con algunas suposiciones, tendré exactamente $2^n$ antepasados de distintas edades. Para simplificar, llamaré a estos antepasados mi $n$ -padres. Sea $A_n$ sea la diferencia entre las edades máxima y mínima de mi $n$ -padres.

Por ejemplo, supongamos que mis padres tienen 56 y 53 años. Entonces $A_1 = 3$ . Si tengo abuelos mayores $82,84,79$ y $80$ , $A_2 = 84-79 = 5$ .

Supongamos ahora que la edad de tus padres en el momento de tu nacimiento es una variable aleatoria $X$ con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ . Entonces $E[A_1] = |X_M-X_F| = \max(X_M,X_F)-\min(X_M,X_F)$ donde $X_M$ es la edad de la madre y $X_F$ es la edad del padre. En $n=2$ tenemos $$E[A_2] = \max(X_{MM}, X_{MF},X_{FM}, X_{FF})-\min(X_{MM}, X_{MF},X_{FM}, X_{FF})$$

donde $X_{MM} = X_M^{(2)} + X_M$ y así sucesivamente. Creo que $X_{Z}$ donde $Z$ es una cadena de longitud $n$ es una distribución normal con media $n\mu$ y varianza $m \sigma^2$ por lo que el problema se simplifica a calcular el valor esperado de

$$\max(Y_1, \dots, Y_{2^n})-\min(Y_1, \dots, Y_{2^n})$$ con $Y_i$ I.I.D., media $n \mu$ varianza $n \sigma^2$ . Sin embargo, no estoy seguro de esto.

¿Cómo $E[A_n]$ calcularse? No estoy seguro de cómo enfocar esto de una manera que no sea tediosa. Esta es mi propia pregunta en la que básicamente me pregunto cuántas "generaciones" hacia atrás se necesitarían para que los bisabuelos (etc) no estuvieran realmente en la misma generación digamos con $\mu=30$ y $\sigma = 8$ .

Answer 1

Mi simulación sugiere que $A_3$ tiene media sobre $4.25\sigma$ y desviación típica sobre $1.75\sigma$ . (No he mirado si se distribuye normalmente). $A_{10}$ tiene media sobre $18.1\sigma$ y desviación típica sobre $2.25\sigma$ .

Así que para $\mu=30$ y $\sigma=8$ la máxima diferencia de edad entre bisabuelos, $A_3$ suele ser de 34 años.

Aquí está mi código de Mathematica para generar 5000 conjuntos de antepasados 10 generaciones atrás y dar la media y la desviación estándar de la diferencia de edad máxima dentro de cada conjunto.

Utilizo $1$ para la desviación típica; $A_i$ parece escalar linealmente con $\sigma$ y era más fácil ver el múltiplo para un determinado $i$ .

    Clear[Ancestors];
    generations := 10;
    greatgreats :=
    Module[
      {Ancestors},
      Ancestors[0]={0};
      Ancestors[n_]:=
      Ancestors[n]=
      Flatten[Function[x,RandomVariate[NormalDistribution[30+x,1],2]]
        /@Ancestors[n-1]];
      Ancestors[generations]]
    results=Table[Max[greatgreats]-Min[greatgreats],{i,1,5000}];
    Mean[results]
    StandardDeviation[results]