Convergencia de la función integral de Bessel

Question

No tengo ni idea de cómo demostrar la convergencia. Me han dicho que tengo que utilizar la prueba de comparación. He dividido la integral de $0$ a $1$ y de $1$ a $+\infty$ . Lo sé. $\cosh(t)\geqslant 1$ y $e^{-x}>0$ . Pero ahora estoy atascado.

Answer 1

$$K_\alpha(x) \approx \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\exp\left(-\frac{x}{2}e^t+\alpha t\right)\,dt = \frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty} z^{\alpha-1}e^{-xz/2}\,dz$$ y: $$ \int_{0}^{+\infty} z^{\alpha-1}e^{-xz/2}\,dz = \left(\frac{2}{x}\right)^{\alpha}\Gamma(\alpha).$$