No compacto simplemente conectado $2$ -con límite

Question

Hay dos puestos correspondientes MSE y MSE por mí sin ninguna respuesta.

Problema: Sea $\Sigma$ sea una zona no compacta simplemente conectada $2$ -de las dimensiones, con límite. Entonces, hasta el homeomorfismo $\Sigma$ es de la forma: eliminar un subconjunto cerrado de la frontera $\Bbb S^1$ del disco de la unidad cerrada.

Motivación: El lema 1.8., en la página 30 del libro A Primer on Mapping Class Group de Benson Farb y Dan Margalit, dice lo siguiente:

Dos curvas cerradas simples sobre una superficie que tienen finitamente muchos puntos de intersección y que no tienen ningún bi-gon, siempre que se eleven (suponiendo la existencia de elevaciones) a la cubierta universal se intersecan como máximo en un punto. punto.

Ahora bien, el lema se ha demostrado para superficies hiperbólicas cerradas. Un paso crucial en la demostración de este lema es: hay dos arcos de dos levantamientos juntos limitan un disco en la cubierta universal $\Bbb H$ lo que es posible por el teorema de la curva plana de Jordan. En otras palabras, siempre que la cubierta universal sea $\Bbb S^2$ o un subconjunto convexo de $\Bbb R^2$ el argumento del lema 1.8. funciona bien.

Mis pensamientos: Estoy tratando de utilizar collaring el límite de $\Sigma$ para obtener una superficie simplemente conexa no compacta sin límites. Sé que existe una técnica para demostrar que cualquier superficie simplemente conexa no compacta sin límites es homeomorfa a $\Bbb R^2$ y esta técnica es directa, en el sentido de que no utiliza la teoría de clasificación (considerando el género, el número de componentes de frontera compacta, la orientabilidad, el diagrama isomórfico) de todas las $2$ -de la Tierra. También, $\Sigma$ es contraíble.

Se agradecerá cualquier ayuda para probar el problema. Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí una prueba, utilizando el Teorema de Uniformización. Esta demostración será más fácil en el contexto de la "Cartilla", ya que los autores consideran espacios de cobertura universales de superficies hiperbólicas completas con límites geodésicos.

Partimos de una superficie simplemente conexa con el límite $S$ y que $DS$ denotan el doble de $S$ a lo largo de su frontera. Entonces $DS$ admite una involución $\tau$ fijación de $\partial S\subset DS$ puntualmente. Todo esto se puede hacer sin problemas. Ahora, ponga un $\tau$ -invariante de la métrica riemanniana en $DS$ Esto define una estructura conforme en $DS$ con respecto a la cual $\tau$ es una involución antiholomorfa. Sea $X$ denotan el espacio de cobertura universal de $DS$ con estructura conforme levantada. Entonces $\tau$ se eleva a involuciones antiholomorfas en $X$ . Por el Teorema de Uniformización, $X$ es conforme al disco unitario (al que equiparé con la métrica de Poincare) o al plano complejo o $S^2$ . Consideraré el primer caso, ya que la demostración en los otros dos casos es similar pero más sencilla. La superficie $S$ se eleva difeomórficamente a una subsuperficie $Y\subset X$ (ya que $S$ es simplemente conexa). Cada componente límite $c$ de $Y$ en $X$ se fija mediante un ascensor $\sigma_c$ de $\tau$ . Desde $\sigma_c$ es una involución antiholomorfa del disco unitario, es una isometría hiperbólica, por lo tanto, su conjunto de puntos fijos es una geodésica en el plano hiperbólico ${\mathbb H}^2$ . Así, $Y$ es un subconjunto convexo cerrado en ${\mathbb H}^2$ . Pasemos ahora al modelo proyectivo (Klein) del plano hiperbólico. Todo subconjunto convexo de ${\mathbb H}^2$ se convierte entonces en un subconjunto convexo del plano euclidiano. Es un ejercicio elemental ver que cada subconjunto convexo compacto (con interior no vacío) del plano euclídeo es homeomorfo al disco unitario cerrado ${\mathbb D}$ en ${\mathbb R}^2$ . Bajo este homeomorfismo $cl_{{\mathbb R^2}}(Y)\to {\mathbb D}$ , $Y$ mapea al complemento a un subconjunto cerrado de la frontera de ${\mathbb D}$ . Desde $Y$ es homeomorfa a su superficie $S$ obtendrá la declaración que busca.