La fórmula del número de clase, la conjetura BSD y la fórmula del límite de Kronecker

Question

Si K es un campo numérico, entonces la función zeta de Dedekind Zeta_K(s) puede escribirse como una suma sobre clases ideales A de Zeta_K(s, A) = suma sobre ideales I en A de 1/N(I)^s. La fórmula del número de clase se deduce del cálculo del residuo del polo (simple) de Zeta_K(s, A) en s = 1 (que resulta ser independiente de A).

Sea E/Q una curva elíptica. Se podría intentar demostrar la conjetura (fuerte) de Birch y Swinnerton-Dyer para E/Q de forma análoga: intentando definir las funciones L(E/Q, A, s) para cada A en el grupo Tate-Shafarevich, escribiendo L(E/Q, s) como una suma de funciones zeta L(E/Q, A, s) donde A abarca los elementos de Sha, y luego intentando calcular el primer coeficiente de Taylor no evanescente de L(E/Q, A, s) en s = 1.

¿Se ha trabajado en la definición de tales funciones zeta L(E/Q, A, s)? En caso afirmativo, ¿cuáles son algunas referencias y/o cómo se denominan dichas funciones zeta?

Además, si K es cuadrático, no sólo existe una fórmula para el primer coeficiente de Laurent no evanescente de Zeta_K(s) (la fórmula del número de clase), sino que también existe una fórmula para el segundo coeficiente de Laurent no evanescente de Zeta_K(s) (que procede de la determinación del segundo coeficiente de Laurent no evanescente de Zeta_K(s, A), algo que no es independiente de K: es la fórmula del límite de Kronecker). ¿Tiene la fórmula del límite de Kronecker un análogo conjetural para la función L adjunta a una curva elíptica sobre Q?

Una pregunta menos aguda: ¿hay alguna idea de si alguno de los coeficientes de Taylor más allá del primero para L(E/Q, s) expandido alrededor de s = 1 tiene un significado aritmético sistemático?

Answer 1

Pido disculpas de antemano por hacer algunos comentarios superificiales. Estas son:

1. La cuestión no carece de interés. Sólo porque Sha no aparezca fácilmente en la definición de L, no hay razón para no preguntarse por manifestaciones más fundamentales que la habitual.

2. Un enfoque podría ser pensar en la función L p-ádica en lugar de la compleja. No soy ni mucho menos un experto en este tema, pero se supone que la función L algebraica es un elemento característico de un grupo dual de Selmer sobre alguna gran extensión del campo fundamental. Por supuesto, el grupo Selmer (sobre el campo de tierra) se divide en cosets indexados por Sha. Tal vez se podrían examinar detenidamente los artículos de Rubin, donde se demuestran varias versiones de la conjetura principal de Iwasawa para curvas elípticas CM].

Añadido, 8 de julio:

Hoy me ha vuelto a la cabeza esta vieja pregunta y me he dado cuenta de que había olvidado hacer una observación bastante obvia. Sin embargo, sigo sin responder a la pregunta original.

Verá, en lugar del $L$ -de una curva elíptica $E$ podemos considerar la función zeta $\zeta({\bf E},s)$ de un modelo mínimo regular ${\bf E}$ de $E$ que, en cualquier caso, es el mejor análogo de la función zeta de Dedekind. Una definición de esta función zeta viene dada por el producto $$\zeta({\bf E},s)=\prod_{x\in {\bf E}_0} (1-N(x)^{-s})^{-1},$$ donde ${\bf E}_0$ denota el conjunto de puntos cerrados de ${\bf E}$ y $N(x)$ cuenta el número de elementos del campo de residuos en $x$ . No es difícil comprobar la expresión $$\zeta({\bf E},s)=L(E,s)/\zeta(s)\zeta(s-1)$$ en términos de $L$ -y la función zeta de Riemann.

La expansión del producto, que converge en un semiplano, también puede escribirse como una serie de Dirichlet $$\zeta({\bf E},s)=\sum_{D}N(D)^{-s},$$ donde $D$ ahora corre sobre el ciclos cero efectivos en ${\bf E}$ . De esta manera, se ve la descomposición $$ \zeta({\bf E},s)=\sum_{c\in CH_0({\bf E})}\zeta_c({\bf E},s), $$ de forma totalmente análoga a la zeta de Dedekind. Aquí, $CH_0({\bf E})$ denota las clases de equivalencia racional de los ciclos cero, y ahora tenemos las zetas parciales $$\zeta_c({\bf E},s)=\sum_{D\in c}N(D)^{-s}.$$ Es un hecho que $CH_0({\bf E})$ es finito. He olvidado a quién se debe esto, aunque la extensión a esquemas arbitrarios de tipo finito sobre $\mathbb{Z}$ en los trabajos de Kato y Saito.

No es del todo descabellado preguntarse a estas alturas si el grupo $CH_0({\bf E})$ está relacionado con $Sha (E)$ . Al menos, esta formulación parece dar a la pregunta original una estructura adicional.

Añadido, 31, julio, 2010:

Esta pregunta volvió a surgir cuando me di cuenta de dos errores, que voy a corregir explícitamente ya que estas cosas pueden confundir mucho a los alumnos. La expresión para la función zeta en términos de $L$ -las funciones anteriores deben invertirse: $$\zeta({\bf E},s)=\zeta(s)\zeta(s-1)/L(E,s).$$ El segundo error es algo más sutil y puede causar aún más confusión si no se corrige. Para esta igualdad precisa, ${\bf E}$ tiene que ser el modelo mínimo de Weierstrass, en lugar del modelo mínimo normal. Espero haberlo entendido bien ahora.

Answer 2

No es una gran respuesta, pero algunos comentarios que espero empujen en la dirección correcta.

Para un campo numérico $K$ existe naturalmente un espacio vectorial complejo de dimensión finita asociado a él, a saber, el espacio generado por los caracteres del grupo abeliano $Gal(H/K)$ con $H$ el campo de clase Hilbert de $K$ . Cada personaje tiene un $L$ -y se pueden utilizar todos estos caracteres para analizar la función $L$ -del carácter trivial (mediante un análisis de combinaciones lineales de las $L$ -funciones de todos los caracteres, algo que podría ser más manejable). Es una especie de interpretación de sus comentarios sobre la función zeta de $K$ . EDIT: Crucialmente, este espacio tiene una interpretación en términos de formas automórficas en $GL(1,K)$ por lo que el $L$ -las funciones se comportan muy bien y sabemos algo de ellas.

Para una curva elíptica $E$ aunque su grupo Tate-Shaferevich sea de orden superior a 1, sólo puedo ver (en la teoría de las formas automórficas) un espacio unidimensional, a saber, el espacio abarcado por la nueva forma correspondiente a $E$ . También se podrían consultar las formas antiguas, pero éstas no aportan ninguna información aritmética nueva.

En particular, aunque puedo ver grupos de clase en la teoría de las formas automórficas, no puedo ver grupos de Tate-Shaferevich, y por lo tanto no puedo ver cómo se podría formular un buen candidato para $L(E/Q,A,s)$ . Si alguien pudiera explicarlo, sería un gran comienzo.

Aunque hay algunos comentarios más negativos: las dos teorías tienen otras diferencias. Por ejemplo, la $L$ -de la curva es decreciente en $s=1$ mientras que el $L$ -función del campo tiene un polo. Argumentos como "Yo tengo un polo, y todas estas otras funciones no, así que cuando nos sumas a todos tenemos un polo" no funcionan si sustituyes "polo" por "cero". Además, en cierto sentido la razón por la que una función como $1^{-s}-3^{-s}+5^{-s}+\ldots$ no tiene un poste en $s=1$ es porque la suma es convergente para la parte real de $s$ mayor que 1 y se puede ver lo que está sucediendo como $s$ tiende a 1. Las sumas implicadas para las curvas elípticas sólo convergen para la parte real de $s$ más grande que $3/2$ por lo que podría ser más difícil llegar desde allí a $s=1$ (aunque si eres "automórfico" puede que este problema no se produzca).

En cuanto a la segunda pregunta, he visto a matemáticos decentes decir que no hay significado aritmético en los términos de orden superior después del primero. Como señalas, esta afirmación es errónea (incluso para la función zeta clásica: $\zeta(0)\not=0$ pero $\zeta'(0)=\log(1/\sqrt{2\pi})$ ) pero nunca he visto un elegante $K$ -teoría o cualquier interpretación de esto, así que no tengo ni idea de lo que está pasando.

Answer 3

La siguiente observación sugiere que tal vez la analogía entre grupos de clase y los grupos de Tate-Shafarevich no es tan estrecha como cabría pensar, y que, al menos en el caso cuadrático, el objeto correcto es el grupo de clases ideales módulo al cuadrado.

Sea $Q_0$ denota la forma cuadrática binaria principal con discriminante $d$ y que ${\mathcal P}: Q_0(X,Y) = 1$ ser el cónica de Pell asociada. Para cada potencia prima $q = p^r$ denota el número de ${\mathbb F}_q$ -puntos racionales en ${\mathcal P}$ por $q - a_q$ se puede comprobar fácilmente que $a_q = \chi(q)$ donde $\chi = (\frac{d}{\cdot})$ es el carácter cuadrático con conductor $d$ .

Definir la función zeta local en $p$ como la serie de potencias formal $$ Z_p(T) = \exp\Big(\sum_{r=1}^\infty N_r \frac{T^r}r \Big), $$ donde $N_r$ indica el número de ${\mathbb F}_q$ -puntos racionales en ${\mathcal P}$ . Un simple cálculo muestra que $$ Z_p(T) = \frac{1}{(1-pT)(1-\chi(p)T)}. $$

Establecer $P_p(T) = \frac1{1 - \chi(p)T} $ y definir el $L$ -series as $$ L(s,\chi) = \prod_p P_p(p^{-s}). $$ Se trata de la clásica serie L de Dirichlet, que desempeñó un papel fundamental en Dirichlet de los primos en progresión aritmética, y fue casi con la fórmula de los números de clase.

Los grupos de clase no aparecen en la imagen anterior; al igual que sus hermanos mayores el grupo Tate-Shafarevich, están relacionados con el objeto global con el que con el que empezamos: la cónica de Pell. Los puntos integrales de la cónica afín de Pell forman un grupo, que actúa (de forma más o menos obvia - pensemos en en los puntos integrales como unidades en algunos campos de números cuadráticos) sobre el punto racional puntos racionales de curvas de la forma $$ Q(x,y) = 1, $$ donde $Q$ es una forma cuadrática binaria primitiva con discriminante $d$ . Esta acción hace que $Q$ en un espacio homogéneo principal ("sobre los enteros"), y la acción habitual de SL $_2({\mathbb Z})$ en cuadrática respeta esta estructura. Las clases de equivalencia de tales espacios forman un grupo con respecto a tomar la suma de Baer, que coincide con la composición clásica de Gauss de las formas cuadráticas.

Los espacios homogéneos principales con un punto integral son triviales en el sentido de que son equivalentes a la cónica de Pell ${\mathcal P}$ . Los espacios espacios con un punto local en todas partes (es decir, con puntos racionales) forman un subgrupo Sha isomorfo al grupo $Cl^+(d)^2$ de clases cuadradas. Definición de los números de Tamagawa para cada primo $p$ como $c_p = 1$ o $=2$ según $p$ es coprimo de $d$ o no, encontramos que la clase habitual (en sentido estricto) es el orden de Sha por el producto de todos los números de Tamagawa (este último es el doble del número de clase del género).

Ahora podemos utilizar la fórmula del número de clase de Dirichlet para demostrar la BSD para cónicas: $$ \lim_{s \to 0} s^{-r} L(s,\chi) = \frac{2hR}{w} = \frac{|Sha| \cdot R^+ \cdot \prod c_p} {| {\mathcal P}({\mathbb Z})_{tors}|}. $$ Observe que $R^+$ denota el regulador de la cónica de Pell, es decir, el logaritmo de la unidad más pequeña totalmente positiva $> 1$ .

La demostración de la fórmula del número de clase de Dirichlet utiliza el grupo de clase, que es un grupo que contiene Sha como cociente, y un grupo relacionado con los números de Tamagawa como subgrupo. Queda por ver si dicho grupo existe en en el caso elíptico.

Podría ser posible avanzar sin tener un grupo de este tipo: en el caso de las cónicas de Pell, las funciones zeta de las clases ideales están, si no recuerdo mal, estrechamente relacionadas con la serie definida por sumando sobre todas $1/Q(x,y)^s$ para números enteros $x$ , $y$ . La cuestión cómo imitar tal construcción para las curvas de género 1 que representan elementos en Sha. que representan elementos en Sha.

Observación: Los números de Tamagawa pueden definirse como ciertos $p$ -integrales radicales; véase una tesis de máster inédita (en japonés) de A. Iwaomoto, Kyoto 2005. Para más información sobre lo anterior, véase ici .

Para ideas que apuntan en otra dirección, véase

• D. Zagier, La conjetura Birch-Swinnerton-Dyer desde un punto de vista ingenuo , Prog. Math. 89, 377-389 (1991)

Answer 4

Hola Jonah,

El punto clave para demostrar la fórmula del número de clase es una descomposición de la función zeta de Dedekind como una suma sobre funciones zeta de clases ideales; como bien sabes, éstas tienen residuos independientes de la clase ideal y hay h(K) de ellas. Por el contrario, la definición de la función L de una curva elíptica no hace ninguna referencia real al grupo Tate-Shafarevich, ni siquiera implícitamente. Recordemos que el grupo T-S clasifica "espacios homogéneos principales" para E, curvas de género uno C/Q con una acción libremente transitiva de E pero sin ningún punto definido sobre Q. No puedo imaginar ninguna forma de descomponer la función L en piezas correspondientes a elementos del grupo T-S. Y coincido con el comentario de Buzzard sobre cómo los ceros se comportan de forma diferente a los polos cuando se suman funciones.