Dada una secuencia de espacios simpliciales (en realidad conjuntos bisimpliciales)
$$F\to E\to B$$
que es una fibración a nivel, entonces la realización geométrica no tiene que ser necesariamente una fibración.
Si lo entiendo bien, entonces un criterio suficiente es que todos los espacios sean espacios H de grupo completo y que el mapa de conjuntos simpliciales $\pi_0(E)\to \pi_0(B)$ es suryectiva.
Consideremos ahora un mapa de espacios H completos de grupos simpliciales $f:X\to Y$ los mapas canónicos $p_X:X\to \pi_0(X)$ , $p_Y:Y\to \pi_0(Y)$ y el mapa inducido $g:\pi_0X\to \pi_0 Y$ .
Permítanme denotar por $\operatorname{hofib} |f|$ la fibra homotópica del mapa $f$ y por $|\operatorname{hofib} (f)|$ la realización geométrica de las fibras homotópicas a nivel, de forma similar para $g$ .
Entonces he inducido mapas $F: |\operatorname{hofib} (f)|\to \operatorname{hofib} |f|$ y $G:|\operatorname{hofib} (g)|\to \operatorname{hofib} |g|$ .
Ahora $\operatorname{hofib}(F)$ y $\operatorname{hofib}(G)$ miden el defecto a qué distancia se encuentra la realización geométrica de las fibras a nivel de la fibra real. Por la condición suficiente del principio, esta obstrucción debe quedar completamente capturada por el comportamiento en el $\pi_0$ . Pero por construcción esto es lo mismo para $f$ y $g$ . ¿Puedo concluir de alguna manera que
$$\operatorname{hofib} (F)\simeq \operatorname{hofib} (G)?$$
Editar: El espacio $|\operatorname{hofib}(g)|$ tal y como está escrito arriba no tiene mucho sentido. Al fin y al cabo estoy hablando de mapas de conjuntos y sobre cada componente conexa (es decir, cada punto) la fibra será simplemente la preimagen de este punto. Lo que realmente debería haber es $|\pi_0 \operatorname{hofib}(f)|$ . No estoy seguro de si esto facilita o dificulta la pregunta.
