Muestran que la curva de $x^2+y^2-3=0$ no tiene puntos racionales, es decir, no hay puntos de $(x,y)$$x,y\in \mathbb{Q}$.
Actualización: Gracias por la entrada! Yo he hecho mi mejor esfuerzo para incorporar sus sugerencias y escribir la prueba. Mi explicación de por qué se $\gcd(a,b,q)=1$ es un poco detallado, pero yo no podía entender cómo decirlo de una manera más concisa con clara de notación.
Prueba: Supongamos que por el bien de la contradicción que existe un punto de $P=(x,y)$, de tal manera que $x^2+y^2-3=0$,$x,y\in\mathbb{Q}$. Entonces podemos expresar $x$ $y$ como irreductible fracciones y escribe $(\frac{n_x}{d_x})^2+(\frac{n_y}{d_y})^2-3=0$,$n_x, d_x, n_y, d_y\in\mathbb{Z}$, e $\gcd(n_x,d_x)=\gcd(n_y,d_y)=1$.
Deje $q$ igual al mínimo común múltiplo de a$d_x$$d_y$. Por lo $q=d_xc_x$ $q=d_yc_y$ mutuamente primer enteros $c_x$ $c_y$ (si no eran mutuamente prime, a continuación, $q$ no sería el menor múltiplo común). Si establecemos $a=n_xc_x$$b=n_yc_y$, podemos escribir la ecuación original como $(a/q)^2+(b/q^2)-3=0$, y de modo equivalente, $a^2+b^2=3q^2$.
Con el fin de determinar el máximo común divisor compartida por $a$, $b$, y $q$, considerar en primer lugar los factores primos de a $a$. Desde $a=n_xc_x$, podemos agruparlos en los factores de $n_x$ y los de $c_x$. Del mismo modo, $b$'s primer factores pueden ser separados en los de $n_y$ y los de $c_y$. Sabemos que $c_x$ $c_y$ no comparten factores, como son mutuamente primos, por lo que cualquier factor de $a$ $b$ debe ser un factor de $n_x$$n_y$.
Además, $q=d_xc_x=d_yc_y$, por lo que el primer factores pueden ser agrupados en los de $d_x$ y los de $c_x$ o de $d_y$ y los de $c_y$. Como ya hemos eliminado $c_x$ $c_y$ como fuentes de los factores comunes, sabemos que cualquier factor de $a$, $b$, y $q$ debe ser un factor de $n_x$, $n_y$, y bien $d_x$ o $d_y$. Pero desde $n_x/d_x$ es una fracción irreducible, $n_x$ $d_x$ no comparten factores primos. Del mismo modo, $n_y$ $d_y$ no comparten factores primos. Así $a$, $b$, y $q$ no comparten factores primos, y su máximo común divisor debe ser $1$.
Ahora consideremos un entero $m$ tal que $3\nmid m$. A continuación, $m\equiv 1\pmod{3}$ o $m\equiv 2\pmod{3}$. Si $m\equiv 1\pmod{3}$, $m=3k+1$ para algunos entero $k$, e $m^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1\equiv 1\pmod{3}$. Del mismo modo, si $m\equiv 2\pmod{3}$,$m^2=3(3k^2+4k+1)+1\equiv 1\pmod{3}$. Desde que agota todos los casos, vemos que $3\nmid m \implies m^2\equiv 1\pmod{3}$$m\in\mathbb{Z}$.
Observe que $a^2+b^2=3q^2$ implica que el $3\mid (a^2+b^2)$. Si $3$ no dividir ambos de $a$$b$, $(a^2+b^2)$ será $1\pmod{3}$ o $2\pmod{3}$, y por lo tanto no divisible por $3$. Por lo que podemos deducir que tanto $a$ $b$ debe ser divisible por $3$.
Podemos escribir de ello $a=3u$ $b=3v$ para algunos enteros $u$$v$. Por lo tanto, $9u^2+9v^2=3q^2$, y de modo equivalente, $3(u^2+v^2)=q^2$. Así que 3 divide a $q^2$, y para ello debe dividir $q$. Así, el 3 es un factor de $a,b,$$q$, pero esto contradice el hecho de que $\gcd(a,b,q)=1$, y falsifica nuestra suposición de que tal punto de $P=(x,y)$ existe.
