Una forma desconocida (para mí) del Lemma de Hensel

Question

En su simpático artículo

Peter Roquette, Historia de la teoría de la valoración. I. (resumen en inglés) Valuation theory and its applications, Vol. I (Saskatoon, SK, 1999), 291--355, Fields Inst. Commun., 32, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002

Roquette afirma el siguiente resultado, que atribuye a Kurschak:

Lemma de Hensel-Kurschak: Sea $(K,|\ |)$ sea un campo completo normado no arquimediano. Sea $f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \in K[x]$ sea un polinomio. Supongamos que (i) $f(x)$ es irreducible y (ii) $|a_0| \leq 1$ . Entonces $|a_i| \leq 1$ para todos $0 < i < n$ .

Dice que este resultado se llama hoy Lemma de Hensel y que se aplica la prueba estándar de Hensel.

Se trata de un resultado interesante: Roquette explica cómo se puede utilizar para dar una prueba muy simple del hecho de que, con $K$ como en el caso anterior, si $L/K$ es una extensión de campo algebraico, existe una norma única en $L$ ampliando $| \ |$ en $K$ . De hecho, este es el argumento que di en un curso sobre ámbitos locales que estoy impartiendo actualmente.

En un principio pensé que el lema de Hensel-Kurschak se derivaría fácilmente de una de las formas más estándar del lema de Hensel. De hecho, en la clase de la semana pasada afirmé que se seguiría de

Lemma de Hensel, versión 1: Sea $(K,| \ |)$ sea un campo completo normado no arquimediano con un anillo de valoración $R$ y que $f(x) \in R[x]$ sea un polinomio. Si existe $\alpha \in R$ tal que $|f(\alpha)| < 1$ y $|f'(\alpha)| = 0$ entonces existe $\beta \in R$ avec $f(\beta) = 0$ y $|\alpha - \beta| < 1$ .

Luego, en la clase de ayer, volví a intentar demostrarlo... sin éxito. (Ese día no estaba en mi mejor momento, y no quiero decir que no sea posible deducir Hensel-Kurschak de HLv1; sólo que intenté lo más obvio: reescalar...). $f$ para convertirlo en un polinomio primitivo -- y que después de 5-10 minutos, ni yo ni ninguno de los estudiantes vimos cómo proceder). Ahora me pregunto si tal vez debería intentar deducirlo de una versión diferente del Lemma de Hensel (por ejemplo, una de las versiones que habla explícitamente de factorizaciones módulo al ideal maximal).

Esto me lleva a una segunda pregunta. Por supuesto, hay muchos resultados que llevan el nombre de Lemma de Hensel. Hoy en día tenemos la noción de Campo normado henseliano es decir, un campo normado no arquimediano en el que la norma exendida en cualquier extensión de dimensión finita es única. (Hay muchas otras condiciones equivalentes; ésa es más bien la cuestión.) Por lo tanto, cada vez que enuncio un resultado --restrinjamos la atención a resultados sobre polinomios univariantes, para fijar ideas-- como "lema de Hensel", me siento obligado a preguntar si este resultado es válido en un campo normado no arquimediano si y sólo si el campo es henseliano, es decir, que es equivalente a todos los lemas estándar de Hensel.

¿Es cierto que la conclusión del lema de Hensel-Kurschak es válida en un campo valorado no arquimediano si el campo es henseliano?

En términos más generales, ¿cuál es una referencia buena y razonablemente completa para los distintos Lemmata de Hensel y su equivalencia en el sentido anterior?

Answer 1

Un resultado mucho más general es el "teorema de la función inversa no arquimediana". No he mirado la referencia de Roquette, así que quizá lo mencione. Pero es algo que realmente no he encontrado en los libros de texto estándar de teoría de números - probablemente se pueda encontrar en textos sobre $p$ -y lo aprendí de mi profesor de teoría de números el semestre pasado (Jean-Benoît Bost). Este teorema es potente -y me parece fascinante y sorprendente- y todas las versiones del lema de Hensel que uno suele encontrar mientras aprende teoría de números son consecuencias inmediatas.

Sea $K$ sea un campo, $\left| \cdot \right|$ un valor absoluto no arquimediano en $K$ para lo cual $K$ está completo, $\mathcal{O}$ el anillo de valoración asociado, $\mathcal{M}$ el ideal máximo, $\pi$ un uniformizador. Sea $\Phi_i \in \mathcal{O}[X_1,\,\cdots,X_n]$ para $1 \leq i \leq n$ y considerar el mapa $\Phi = (\Phi_1,\,\cdots,\Phi_n) : \mathcal{O}^n \to \mathcal{O}^n$ . Sea $J$ sea el jacobiano $\det(\partial \Phi_i / \partial X_j) \in \mathcal{O}[X_1,\,\cdots,X_n]$ .

Teorema. Si $x_0 \in \mathcal{O}^n$ , $y_0 = \Phi(x_0)$ y $J(x_0) \neq 0$ para cualquier $R \in (0, \left|J(x_0)\right|)$ , $\Phi$ induce una biyección $$\overline{B}(x_0,R) \to y_0 + (D\Phi)(x_0) \overline{B}(0,R)$$ (donde $D\Phi$ es la derivada que todos conocemos) y además tenemos una biyección $$B^\circ(x_0,\left|J(x_0)\right| \to y_0 + (D\Phi)(x_0) B^\circ(0,\left|J(x_0)\right|).$$

(Utilizo las notaciones estándar $\overline{B}$ y $B^\circ$ para bolas cerradas y abiertas respectivamente).

La demostración utiliza de forma esencial el teorema del punto fijo de Picard.

Corolario 1. Toma $n = 1$ , $\Phi_1 = P$ , $x_0 = \alpha$ , $\varepsilon \in (0,1)$ . Supongamos que $\left|P(\alpha)\right| \leq \varepsilon \left|P'(\alpha)\right|^2$ . Entonces existe un único $\beta \in \mathcal{O}$ tal que $P(\beta) = 0$ y $\left|\beta - \alpha\right| \leq \varepsilon \left|P'(\alpha)\right|$ . (Tomamos $R = \varepsilon \left|P'(\alpha)\right|$ en la primera biyección).

Por lo tanto, como caso especial, si $\left|P(\alpha)\right| < \left|P'(\alpha)\right|^2$ encontramos $\left|\beta - \alpha\right| < \left|P'(\alpha)\right|$ .

Como caso aún más especial, si $P'(\alpha) \in \mathcal{O}^\times$ y $\left|P'(\alpha)\right| <1$ existe $\beta \in \mathcal{O}$ tal que $P(\beta) = 0$ y $\left|\beta - \alpha\right| < 1$ . Dicho en términos del campo de residuos: un cero simple en el campo de residuos puede elevarse a un cero real en $\mathcal{O}$ . Esta es la versión realmente conocida del lema de Hensel, supongo.

[Definición: la norma de Gauss de un polinomio con coeficientes en $K$ se define como el máximo de los valores absolutos de sus coeficientes. Es muy fácil comprobar que la norma de Gauss es multiplicativa].

Corolario 2. Toma $f,g,h \in \mathcal{O}[X]$ tal que $\deg g = n$ , $\deg h = m$ y $\deg f = \deg g + \deg h = n + m$ . Supongamos que existe $\varepsilon \in (0,1)$ tal que $\left\|f - gh\right\| \leq \varepsilon\left|\text{Res}(g,h)\right|^2$ y $\deg(f - gh) \leq m + n - 1$ . Entonces existe $G, H \in \mathcal{O}[X]$ tal que $f = GH$ , $\deg(G - g) \leq n - 1$ , $\deg(H - h) \leq m - 1$ y también $\left\|G - g\right\| \leq \varepsilon \left|\text{Res}(g,h)\right|$ y $\left\|H - h\right\| \leq \varepsilon \left|\text{Res}(g,h)\right|$ . (Obviamente $\text{Res}$ denota aquí la resultante, y $\left\|\cdot\right\|$ la norma de Gauss).

Para demostrarlo: escriba $G = g + \xi$ y $H = h + \eta$ donde $\xi$ y $\eta$ son polinomios con coeficientes en $\mathcal{O}$ y tienen títulos $\leq n - 1$ y $\leq m - 1$ respectivamente. Entonces $f = GH$ sólo si $f = (g + \xi)(h + \eta)$ . Puede verse como un mapa desde $\mathcal{O}^n \times \mathcal{O}^m \to \mathcal{O}^{n + m}$ dadas por polinomios. Consideremos el mapa $\Phi: (\xi, \eta) \mapsto (g + \xi)(h + \eta) - f$ . También hemos $\text{Res}(g,h) = \det((\xi, \eta) \mapsto g \xi + h \eta))$ . Es fácil ver que el teorema anterior da entonces el resultado.

Como corolario: si $f$ , $g$ y $h$ satisfacer $\overline{f} = \overline{g} \overline{h}$ - donde $\overline{f}$ es $f$ módulo reducido $\mathcal{M}$ etcétera - y si $\overline{g}$ y $\overline{h}$ son coprimas (¡esta es una condición de la resultante!) entonces existen $G,H \in O[X]$ que cumpla las siguientes condiciones: $f = GH$ , $\deg(G - g) \leq n - 1$ , $\deg(H - h)\leq m - 1$ , $\overline{G} = g$ y $\overline{H} = h$ . Por lo tanto, "una factorización sobre el campo de residuos se eleva a una factorización sobre $\mathcal{O}$ "(en las condiciones adecuadas).

Corolario 3. Por último, pasemos a la motivación de la pregunta: el resultado más general es que si $P \in K[X]$ es irreducible, entonces $\left\|P\right\|$ (Gauss) es el máximo de los valores absolutos del coeficiente principal y del coeficiente constante. (Como caso especial, encontramos el resultado que Pete L. Clark cita como el lema de Hensel-Kurschak).

En efecto, dejemos que $P(X) = \sum_{i = 0}^n a_i X^{n - i} \in K[X]$ . Supongamos WLOG que $\left\|P\right\| = 1$ . Sea $\mathbb{F}$ es el campo de residuos y $\overline{P}$ sea la imagen de $P$ modulo $\mathcal{M}$ . Establecer $r = \min \{n : \overline{a_{n - r}} \neq 0\}$ . Entonces tenemos en el campo de residuos la factorización $\overline{P}(X) = X^r \left(\overline{a_{n - r}} + \overline{a_{n - r - 1}}X + \cdots + \overline{a_0} X^{n - r}\right)$ y podemos levantar la factorización por el Corolario 2, contradiciendo la irreductibilidad.

Sé que es una digresión, pero me parece muy interesante toda la discusión sobre las diversas formas del lema de Hensel, y pensé que esto podría aportar algo al debate.

Answer 2

Lo que dices al principio de tu post es correcto: el lema de Hensel-Kurschak puede deducirse de alguna versión refinada del lema de Hensel. En realidad, es lo que hace Neukirch en Teoría Algebraica de Números (véase el capítulo II, corolario 4.7). Su demostración se basa en lo siguiente (véase 4.6)

Lema de Hensel: Sea $(K,|.|)$ sea un campo completo valorado con anillo de valoración $R$ ideal máximo $\mathfrak{m}$ . Sea $f(x) \in R[x]$ sea un polinomio primitivo (es decir $f\ne 0$ mod $\mathfrak{m}$ ). Supongamos que $f=\bar{g}\bar{h}$ mod $\mathfrak{m}$ con $\bar{g}$ y $\bar{h}$ relativamente primo. Entonces puedes levantar $\bar{g}$ y $\bar{h}$ a polinomios $g$ y $h$ en $R[x]$ tal que $\textrm{deg}(g)=\textrm{deg}(\bar{g})$ y $f=gh$ .

Neukirch continúa demostrando que la valoración sobre $K$ se extiende unívocamente a cualquier extensión algebraica (véase el corolario 4.7), como dice Roquette.

En cuanto a su última pregunta, quizá le interese echar un vistazo al capítulo II, apartado 6 (llamado apropiadamente Campos Henselianos) del libro de Neukirch. Su definición de campo henseliano es que debe satisfacer el lema de Hensel-Kurschak. En el teorema 6.6, muestra que esta propiedad es equivalente a la extensión única de la valoración a extensiones algebraicas.

Answer 3

Se puede encontrar una exposición de varias versiones del Lemma de Hensel en

• P. Ribenboim, Formas equivalentes del lema de Hensel , Expos. Math. 3 (1985), 3-24