Prueba de la propiedad del producto interior

Question

Sea $V$ sea un espacio vectorial. Demostrar que si $\forall\beta \in V,\langle\alpha,\beta\rangle=0$ entonces $\alpha=0$ . No pude pensar en ninguna manera de demostrar esto directamente, así que intenté el contrapositivo. Lo que lo transformaría en: Demostrar que si $\alpha \neq 0$ entonces $\exists\beta\in V,\langle\alpha,\beta\rangle\neq0$ .

Prueba: Dado que $\alpha$ es distinto de cero y está en $V$ entonces tenemos que $\langle\alpha,\alpha\rangle>0$ .

¿Es válida esta prueba? ¿Hay alguna forma de demostrarlo directamente?

Answer 1

Esta es la prueba más fácil. Sea $\beta = \alpha$ . Entonces $\langle \alpha,\alpha \rangle = 0$ por lo que por los axiomas del producto interior, $a = 0$ . No es necesario utilizar el contrapositivo.

Answer 2

Un espacio vectorial per se no tiene producto interior. Si se trabaja en un espacio vectorial equipado con un producto interior, entonces depende de cómo se enuncien las propiedades del producto interior: si se dice que $\langle\alpha,\alpha\rangle>0$ para cada $\alpha$ entonces la forma natural es como tú lo hiciste. Si, por el contrario (y tal vez más comúnmente) la propiedad se establece que $\langle\alpha,\alpha\rangle=0$ implica $\alpha=0$ entonces puedes tomar $\beta=\alpha$ .

Answer 3

Tu prueba está bien, pero aquí tienes una prueba directa (que es esencialmente la misma). Supongamos que $\langle \alpha,\beta\rangle=0$ para todos $\alpha$ entonces $\langle\alpha,\alpha\rangle=0$ . Uno de los axiomas de un producto interior es $\langle x,x\rangle=0$ si $x=0$ por lo que concluimos $\alpha=0$ .