Prueba de que cualquier matriz unitaria puede representarse como $e^{i\theta_1 Z}e^{i\theta_2 X}e^{i\theta_3 Z}$

Question

Dadas las matrices de Pauli $X$ y $Z$ definido como

$$X = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1& 0 \end{pmatrix},\ \ Z = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}$$

Leí un resultado (véase la página 2) donde se afirma que

cualquier puerta 1-qubit puede realizarse como una composición de $e^{i\theta_1Z}e^{i\theta_2 X}e^{i\theta_3 Z}$ según la fórmula de Euler

Creo que esto equivale a decir que cualquier $2\times 2$ unitario puede escribirse de esta forma ¿Cómo se demuestra esto?

Answer 1

No hay fase global en la ecuación que has citado, por lo que cualquier unitario especial $2 \times 2$ se puede escribir de esta forma. La fase global no suele tenerse en cuenta en los cálculos cuánticos, por lo que no es extraño que los autores la omitieran.

La prueba es sencilla, ya que $U \in SU(2)$ las filas y columnas de $U$ son ortonormales, y el determinante de $U$ es $1$ de lo que se deduce que existen números reales $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ tal que $$U=\begin{bmatrix} e^{i \theta_1} & 0 \\ 0 & e^{-i \theta_1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta_2 & i \, \sin \theta_2 \\ i \, \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{i \theta_3} & 0 \\ 0 & e^{-i \theta_3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} e^{i(\theta_1 + \theta_3)} \cos \theta_2 & i\, e^{i(\theta_1-\theta_3)} \sin \theta_2 \\ i \, e^{i(-\theta_1+\theta_3)} \sin \theta_2 & e^{i(-\theta_1 - \theta_3)} \cos \theta_2 \end{bmatrix}.$$ Esto es sólo un cambio menor de la demostración del Teorema 4.1 en Mike e Ike para la descomposición Z-Y. Si todavía te resulta confuso, te sugiero que leas detenidamente esta sección (4.2).