Pregunta sobre el isomorfismo de grupo

Question

Demuestre que si $f: G \rightarrow H$ es un isomorfismo de grupo, entonces $f(Z(G))=Z(H)$ donde $Z(K)$ es el centro del grupo $K$

No entiendo muy bien lo que quiere decir con $f$ ser un grupo

Enfoque: Es bastante desordenado, pero esta es la idea

Sea $x\in Z(G)$ y $y \in Z(G)$ , $f(xy)=f(x)(y)=f(yx)=f(y)f(x)$

Esto demuestra que $f(x)$ puede estar en el centro de $H$ pero ¿cómo sabemos $f(y)$ corre por todas partes $H$ ?. No tengo ni idea. Necesito ayuda

Answer 1

Si $g \in Z(G)$ entonces $g$ conmuta con cada elemento de $G$ . En consecuencia, por las propiedades de $f$ , $f(g)$ conmuta con cada elemento de $H$ Por lo tanto $f(g)$ se encuentra en el centro de $H$ . Así que.., $$ f(Z(G)) \subset Z(H)\quad (1) $$

Por el contrario, si $h \in H$ se encuentra en el centro de $H$ entonces $h$ conmuta con cada elemento de $H$ y por tanto (por las propiedades de $f^{-1}$ ) el elemento $g = f^{-1}(h)$ de $G$ conmuta con cada elemento de $G$ y, por lo tanto $g$ se encuentra en el centro de $G$ . Esto demuestra que $f^{-1}(Z(H)) \subset Z(G)$ lo que implica $$ Z(H) \subset f(Z(G)) \quad (2). $$

Las inclusiones (1) y (2) implican conjuntamente el resultado deseado.

Answer 2

Primero demostremos que $f(Z(G)) \subseteq Z(H)$ . Sea $h \in f(Z(G))$ queremos mostrar $h \in Z(H)$ .

Desde $h \in f(Z(G))$ entonces existe un $g_h \in Z(G)$ tal que $f(g_h) = h$ . Ahora dejemos que $y$ sea cualquier elemento de $H$ . Para demostrar que $h \in Z(H)$ tenemos que demostrar que $hy = yh$ por definición del centro de un grupo. Dado que $f$ es una biyección, existe un $x\in G$ tal que $f(x) = y$ .

Desde $g_h \in Z(G)$ tenemos para $g_hg = gg_h$ para cualquier elemento $g \in G$ . Aviso, $$f(g_hx) = f(g_h)f(x) = hy$$ y $$f(g_hx) = f(xg_h) = f(x)f(g_h) = yh$$ y así $hy = yh$ como desee.

Ahora mostramos $Z(H) \subseteq f(Z(G))$ . Sea $h \in Z(H)$ . Queremos demostrar que $h \in f(Z(G))$ es decir, que existe $g_h \in Z(G)$ tal que $f(g_h) = h$ . Desde $f$ es una biyección, existe un $g \in G$ tal que $f(g) = h$ por lo que queda por demostrar que $g \in Z(G)$ para que $g$ ser el $g_h$ que deseamos. Dejemos que $x$ cualquier elemento de $G$ debemos demostrar que $gx = xg$ para mostrar $g \in Z(G)$ . Desde $f$ es una biyección, existe un $y \in H$ tal que $f(x) = y$ . Tenga en cuenta que,

$$hy = f(g)f(x) = f(gx)$$ y $$hy = yh = f(x)f(g) = f(xg),$$

así $f(gx) = f(xg)$ y por inyectividad de $f$ , $gx = xg$ como desee.

Desde $f(Z(G)) \subseteq Z(H)$ y $Z(H) \subseteq f(Z(G))$ tenemos que los dos conjuntos son iguales.