Sólo un número finito de valores de las funciones simétricas de $1/1,1/2,\ldots,1/n$ son $2$ -números enteros radicales (?)

Question

Para números enteros $n \geq k \geq 1$ deje $$H(n,k) := \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \frac1{i_1 \cdots i_k}$$ sea el $k$ -enésima función simétrica elemental de $\tfrac1{1},\tfrac1{2}, \ldots, \tfrac1{n}$ .

Erdős y Niven [1] demostraron que $H(n, k)$ es un número entero sólo para un número finito de $n$ y $k$ y posteriormente Chen y Tang [2] demostraron que $H(1,1)$ y $H(3,2)$ son los únicos valores integrales.

Mi pregunta es: "¿Es cierto que $H(n,k)$ es un $2$ -sólo para un número finito de $n$ y $k$ ?"

Obsérvense los dos casos extremos: $H(n, 1) = 1 + \frac1{2} + \cdots + \frac1{n}$ El $n$ -ésimo número armónico, que es bien conocido por ser un $2$ -Sólo para $n = 1$ y $H(n,n) = 1 / n!$ que obviamente es un $2$ -adic entero sólo para $n = 1$ . Tenga en cuenta también que el $p$ -valoración de $H(n,k)$ se ha estudiado en [3].

Por supuesto, cabe plantearse una pregunta más general: "Dado un número primo $p$ ¿es cierto que $H(n,k)$ es un $p$ -sólo para un número finito de $n$ y $k$ ?" Sin embargo, una conjetura antigua y aún abierta de Eswarathasan y Levine [4] afirma que para cualquier primo $p$ el número armónico $H(n,1)$ es un $p$ -sólo para un número finito de enteros positivos $n$ . Por lo tanto, esta última cuestión parece demasiado difícil para los métodos actuales.

[1] P. Erdős e I. Niven, Algunas propiedades de las sumas parciales de las series armónicas Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 248-251.

[2] Y.-G. Chen y M. Tang, Sobre las funciones simétricas elementales de $1, 1/2, . . . , 1/n$ , Amer. Math. Mensual, 119 (2012), 862-867.

[3] P. Leonetti y C. Sanna, Sobre la valoración p-ádica de los números de Stirling del primer tipo Acta Mathematica Hungarica 151 (2017), 217-231.

[4] A. Eswarathasan y E. Levine, $p$ -sumas armónicas integrales Matemáticas Discretas.., 91 (1991), 249-257.

Answer 1

La siguiente es sólo una respuesta parcial. El número $H(n,k)$ no es un $2$ -adic entero "para más $n$ ". Me ceñiré al caso $k=2$ por comodidad. Afirmo que hay una secuencia $(a_j)_{j \geq 0} \in \{ 0,1 \}^{\mathbb{N}}$ con $a_0 =1$ tal que si $n = \sum_{j=0}^r b_j 2^{r-j}$ es la expansión binaria de un número entero $n$ con $b_0 = 1$ y si $(b_j)_{j=0}^r \neq (a_j)_{j=0}^r$ entonces $$ v_2(H(n,2)) = - 2r + s, $$ donde $s$ es el menor número entero tal que $b_s \neq a_s$ . En particular, $H(n,2)$ no es un $2$ -enteros, a menos que $n$ tiene la forma $n = n_r = \sum_{j=0}^r a_j 2^{r-j}$ para algunos $r$ . En $n_r \in [2^r,2^{r+1}[$ estos posibles contraejemplos son muy escasos, y esto es lo que quería decir con "para la mayoría de los $n$ "arriba ( $n_r$ es la única excepción posible en $[2^r,2^{r+1}[$ ).

Construcción de $(a_j)_j$ se construyen secuencias por inducción $(a_j,n_j,x_j)_{j \geq 0}$ tal que $x_j = 2^{j-1} H(n_j,2)$ es un $2$ -adic entero. Uno establece $a_0 = n_0 =1, x_1 =0$ y el paso de inducción viene dado por

• $a_{j+1} \in \{ 0,1 \}$ es tal que $a_{j+1} \equiv a_j + x_j \pmod 2$ .
• $n_{j+1} = 2n_j + a_{j+1}$
• $x_{j+1} = 2^{j} H(n_{j+1},2)$

Por ejemplo $n_0=1$ , $n_1 = 3$ , $n_2 = 6$ , $n_3=13$ , $n_4=27$ , $n_5=54$ , $n_6=109$ , $n_7=219$ . Correspondientemente, $(a_j)_j = 1,1,0,1,1,0,1,1,...$

No sé si $H(n_j,2)$ es un $2$ -para sólo un número finito de $j$ (para $j \leq 7$ este es un $2$ -Sólo para $j=0,1$ ). Por ejemplo, para $j=6$ se tiene $v_2(H(n_6,2)) = v_2(H(109,2)) = -3$ que es inesperadamente grande.