El sistema de números complejos es una extensión del sistema de números reales. ¿Existe un sistema numérico que sea una extensión del sistema de números complejos en el que el álgebra esté bien definida?
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En cuaterniones y octoniones son sistemas numéricos que amplían los números complejos. Junto con los números complejos y los propios números reales, forman los únicos álgebras de división normadas sobre los números reales. En un álgebra de división normada, existe una noción de "tamaño" (dada por la norma), y cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo izquierdo y derecho (esto forma parte de la definición de " álgebra de la división "). Sin embargo, en los cuaterniones, la multiplicación es asociativo pero no conmutativa y en los octoniones se pierde tanto la asociatividad como la conmutatividad de la multiplicación. Así pues, el álgebra está perfectamente bien definida en estos sistemas numéricos, pero no se comportan como cabría esperar.
La palabra "número" no tiene una definición matemática propiamente dicha, por lo que si se está dispuesto a interpretar "número" de forma abstracta, hay muchas razones para considerar que los polinomios también son "números". Ciertamente, tienen operaciones algebraicas bien definidas (por ejemplo, sumar, multiplicar) que podemos hacer con ellos; en otras palabras, forman un anillo . Así que también se pueden extender los números complejos formando anillos polinómicos y cocientes de tales anillos . Por ejemplo, tenemos el anillo de polinomios $$\mathbb{C}[x]=\{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\mid a_i\in\mathbb{C}\},$$ o el anillo de los llamados " números dobles "más de $\mathbb{C}$ : $$\mathbb{C}[x]/(x^2)=\{a+bx\mid a,b\in\mathbb{C}\}$$ (en este ring, $x$ tiene la propiedad de que $x^2=0$ ). También puede hacer que el campo de funciones racionales $$\mathbb{C}(x)=\left\{\,\frac{f}{g}\;\middle\vert\; f,g\in\mathbb{C}[x], g\neq0\right\}.$$
fretty
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Todo depende de lo que se entienda por "álgebra". En realidad, no es muy fructífero crear extensiones de cosas sin tener una razón para hacerlo.
Creamos los números complejos por una razón... para que todos los polinomios reales tengan soluciones. Ocurre que es un campo que tiene una buena estructura y es algebraicamente cerrado.
Si quieres hacer una extensión de los números complejos puedes hacerlo de muchas maneras, pero ¿qué propiedades te gustaría que tuviera la extensión dada?
